10. Бесконечные игры

Следующая комбинаторная схема была впервые предложена С. Мазуром около 1928 г. Представим себе точечное множество на интервале и двух неутомимых математиков которые будут играть в следующую игру. Каждый по очереди определяет интервал. Первый интервал определяет А и каждый следующий интервал может быть произвольным подынтервалом предыдущего. А побеждает,

если пересечение всех интервалов содержит точку из В — в противоположном случае.

В случае, когда есть дополнение к множеству первой категории в каком-либо интервале, А всегда может выиграть с помощью следующей стратегии. В качестве исходного А выбираем этот интервал. Дополнение к представляет в нем сумму счетной последовательности нигде не плотных множеств. Какой бы интервал ни выбрал на шаге игрок в ответ выбирает его подынтервал, не принадлежащий нигде не плотному множеству этой последовательности.

Очевидно, А выигрывает.

Интересно, что, используя аксиому выбора, можно построить множества такие, что для любого подынтервала ни ни не являются множествами первой категории по отношению к этому подынтервалу. Это множества, которые не имеют так называемого свойства Бэра.

Банах доказал (не опубликовано), что для такого множества не существует выигрывающей стратегии ни для одного из игроков.

Игру Мазура можно обобщить и изменить во многих направлениях. Задача, возникающая на всех таких играх, содержащих подмножество такова: каков класс множеств для которых не существует выигрывающей стратегии ни для одного из игроков? Следует указать, что во всех известных играх этого рода существует способ выиграть или для А, или для В, когда множество определено эффективно. Например, возвращаясь к исходной игре Мазура, до настоящего времени не существует эффективно построенного множества, которое не обладало бы свойством Бэра. Все известные доказательства существования такого множества используют аксиому выбора.

Один результат Гбделя, из которого следует, что в некоторой системе аксиом теории множеств можно, не опасаясь противоречий, принять, что такие множества существуют и являются проективными, дает интересную интерпретацию результата Банаха!

Интересно также отметить, что игры такого рода не легко определить для трех игроков без тривиального сведения к игре между двумя игроками из трех. Дихотомия в таких бесконечных построениях наблюдается во всех конструктивных частях теории множеств. Так, например, множество.

измеримое по Лебегу, почти во всех точках имеет плотность, равную или нулю или единице. Бэровское множество есть или множество 1-й категории, или дополнение к нему и т. д.

Приведенная выше игра может также быть специализирована различными способами. Так, например, можно ограничить некоторым правилом выбор интервалов для игроков В качестве простейшего примера можно, задав множество потребовать, чтобы игроки поочередно называли последовательные цифры двоичного разложения некоторого числа х, причем А пытается заставить х принадлежать а В пытается «загнать» х в дополнение Для этих более специальных игр справедлив аналог результата Банаха.

См. Гейл и Стьюарт [1], Мицильский, Сверчковский и Зеба [1], Мицильский и Зеба [1], а также Scottish Book по поводу оригинальной версии Мазура и модификаций Банаха и Улама.

Интересное усложнение последнего варианта игры можно получить, введя в нее элемент случайности. Для данной последовательности ход с номером определяется случайным выбором нуля или единицы. Способ выиграть нужно здесь понимать как стратегию, с помощью которой А определяет х, принадлежащее для почти всякой последовательности нулей и единиц на местах с номерами