5. Проективные алгебры

Проективные алгебры представляют собой обобщение булевых алгебр. Они позволяют, до некоторой степени, дать алгебраическую трактовку логических кванторов. Для нашей цели достаточно рассмотреть представление, проективной алгебры, и для простоты мы ограничимся двумерным случаем, хотя задачи, поставленные ниже, имеют смысл и для измерений при

Предположим, следовательно, что мы имеем класс множеств, расположенных в евклидовой плоскости, замкнутый относительно булевых операций и относительно проектирования на любую из координатных осей. Пусть, далее, этот класс содержит прямое произведение для любых принадлежащих ему расположенных соответственно на осях Такой класс представляет собой простейший пример проективной алгебры (см. Эверетт и Улам [1], МакКинси [ 1 ]).

Пусть теперь дан счетный класс множеств на плоскости. Существует ли конечное число множеств, которое порождает проективную алгебру, содержащую все множества этого счетного класса?

Справедливо ли аналогичное утверждение для счетного класса множеств в если требовать, чтобы множества, порождающие проективную алгебру, принадлежали к некоторому где

Что это a priori возможно, показывает один пример Дэвида Нельсона, в котором два плоских множества порождают бесконечную проективную алгебру. Отметим, что положение здесь существенно отличается от положения в булевых алгебрах, в которых из порождающих множеств можно получить не более элементов.

Существует ли универсальная счетная проективная алгебра, т. е. счетная проективная алгебра такая, что любая счетная проективная алгебра изоморфна ее некоторой подалгебре?

Справедливо ли, что для каждого положительного целого существует проективная алгебра, порожденная множествами точек плоскости и свободная в том смысле, что между ее элементами нет никаких соотношений, кроме тех, которые имеются в любой проективной алгебре?

Сколько существует не изоморфных друг другу алгебр, порожденных множествами?

Многие математические теоремы сводятся к утверждению, что два множества, которые получены различными последовательностями булевых операций и операций квантификации, действующих на конечное число данных множеств, совпадают.

Желательно поэтому установить в некоторых проективных алгебрах теорему, утверждающую, что для двух тождественно равных множеств их тождественность всегда может быть установлена по правилам формальной проективной алгебры.

Мы спрашиваем, в частности, существует ли счетная последовательность множеств в такая, что проективная алгебра, порожденная ими, свободна; иначе говоря, если два множества, построенные из образующих множеств путем различных формальных операций проективной алгебры, совпадают, то их совпадение можно доказать путем формальных проективно-алгебраических операций.