ГЛАВА V. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

1. Вопросы метризации

Одна из общих задач топологической алгебры состоит в определении всех возможных топологических групп, которые можно определить для данной абстрактной группы О. Это означает описание всех топологий на множестве О, в которых непрерывна данная групповая операция. Имеется много частных результатов, относящихся к этой задаче. Например, доказано (Улам, Нейман), что существует абстрактная группа мощности континуума такая, что ни одна метризация, по отношению к которой групповая операция непрерывна, не обратит эту группу в сепарабельную. Существует даже абелева (коммутативная) группа с таким свойством. Мы укажем здесь несколько нерешенных задач.

Можно ли ввести метрику в группу перестановок всех целых чисел так, чтобы групповая операция была непрерывна относительно этой метрики и группа стала локально компактным пространством?

Шрейер и автор доказали, что ввести метрику, в которой эта группа станет компактной, нельзя. Это следует из такого чисто теоретико-группового свойства. Пусть дана произвольная бесконечная (т. е. изменяющая положение бесконечно многих целых чисел) перестановка Произвольную бесконечную перестановку можно получить, перемножая фиксированное число соответствующих сопряженных этой перестановки. Известно, что в компактной топологической группе для любого целого можно найти окрестность единицы, настолько малую, что произведения не более чем 1V

элементов, сопряженных к элементам этой окрестности, образуют множество, меньшее чем вся группа. Фактически для любой окрестности единицы и любого можно выбрать столь малую другую окрестность единицы, что произведение не более чем элементов, сопряженных к элементам выбранной окрестности, содержится в Но если группа компактна, то любая окрестность единицы должна содержать бесконечную перестановку.

Для введения метрики в группу существуют четыре очевидных способа, основанных на ее следующих нормальных делителях: а) тождественная перестановка, б) подгруппа четных конечных перестановок, в) подгруппа всех конечных перестановок, г) вся группа «Естественная» топология группы такова. Последовательность перестановок сходится к данной перестановке, если она слабо сходится, т. е. если образ каждого целого числа в этой перестановке становится, начиная с некоторого момента, равным своему значению в предельной перестановке и остается постоянным. Это же должно иметь место и для обратных перестановок. Такая топология легко определяется с помощью соответствующей метрики. Очевидно, что она не приводит к локально-компактному пространству. Аналогичная топология, введенная в нормальных делителях, также не приводит к локально-компактным пространствам, так как пространства классов смежности при этом являются дискретными.

Существуют ли непрерывные метризации группы отличные от указанных четырех? Так как все четыре не приводят к локально-компактным топологическим пространствам, то теорема, устанавливающая невозможность другой топологизации, в сочетании с некоторыми результатами Вейля даст конкретные примеры групп, в которых не существует инвариантной меры (меры Хаара — Вейля).