ГЛАВА III. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Свойства семейств траекторий, инвариантные при движении системы координат
Предположим, что в фиксированной декартовой системе координат (х, у, z) нам заданы 
движущихся точек, описывающих кривые 
Пусть, далее, другая декартова система координат 
движется относительно данной системы как твердое тело, т. е. начало новой системы координат описывает произвольную кривую и поворот осей х, у, z относительно х, у, z есть произвольная функция времени. Данные кривые в этой движущейся системе будут иметь другой вид.
Возникает вопрос: каковы инварианты данной системы траекторий по отношению к произвольно движущемуся наблюдателю? Ясно, что для одной траектории ничего сказать нельзя. В соответственно движущейся координатной системе эта траектория будет казаться стационарной точкой. Для двух данных траекторий ясно, что соответствующим движением системы х, у, z мы можем снова обратить одну из траекторий в стационарную точку, скажем, в начало координат, в то время как другая будет совпадать, скажем, с осью х. Аналогично, тривиальными являются инварианты трех движущихся точек относительно движения системы координат.
Ясно, что инварианты являются функциями взаимных расстояний между движущимися точками в произвольный момент времени.
Если, однако, п. 4, то начинают возникать некоторые более интересные вопросы. Например, если даны произвольные непрерывные движения четырех точек, то можно ли
задать такое движение системы координат, чтобы для наблюдателя, связанного с этой системой, все данные траектории оказались плоскими выпуклыми кривыми или, может быть, коническими сечениями? Если мы имеем достаточное число 
движущихся точек, траектории которых зацеплены, то справедливо ли, что в любой движущейся координатной системе по крайней мере две из них будут обладать этим свойством?
Аналогичные вопросы об инвариантах системы траекторий (или, в более общем случае, параметрически заданных поверхностей и т. д.) можно изучать для данного класса топологических преобразований пространства, более общих, чем жесткое движение координатной системы.
