4. Счастливые числа

Решето Эратосфена отбирает из натурального ряда чисел простые. Можно рассмотреть различные другие варианты в определении «решета». На электронной счетной машине в Лос Аламосе была численно исследована следующая процедура (Гардинер и др. [1]).

В последовательности целых чисел мы вычеркиваем каждое второе число, т. е., другими словами, все четные числа. Первое оставшееся число (не считая 1) есть 3. Из оставшихся чисел вычеркиваем теперь каждое третье, т. е. на этот раз вычеркиваем числа 5, 11, 17 и т. д. В оставшейся последовательности первое не использованное число есть 7, поэтому из нее мы вычеркиваем каждое седьмое число, т. е. 19, и т. д. Этот процесс продолжается неограниченно.

Числа, оставшиеся после этой последовательности вычеркиваний, мы назовем, скажем, счастливыми числами. Это будут 1, 3, 7, 9, 13 и т. д.

Оказывается, что многие асимптотические свойства последовательности простых чисел имеют место и для счастливых чисел. Так, например, их асимптотическая плотность равна

Количества соседних простых и соседних счастливых чисел весьма близки вплоть до , значения до которого велись исследования на машине. Количество соседних простых чисел, отличающихся на 4 или на 6, 8 и т. д. единиц в этих пределах, также близко к соответствующему количеству для соседних счастливых чисел. Оказалось также, что в пределах исследования каждое четное число есть сумма двух счастливых. Счастливые числа вида по-видимому, распределены одинаково и т. д.

Другое рассмотренное решето основано на случайности, т. е. мы сохраняем целое с вероятностью В классе полученных таким образом последовательностей можно пытаться доказать для почти каждой такой последовательности более детальные утверждения относительно их распределения, например теорему о представлении целых чисел с помощью сумм таких чисел, о распределении щелей между соседними числами и т. д. (см. Эрдёш, Яботинский [1], Чоула, Хокинс — работы, готовящиеся к выходу).

Может быть, не лишено интереса для теории чисел заменить случайными подобные процедуры, приводящие к простым числам в квадратичных полях. Аналогично можно заменить случайными последовательностями

последовательности квадратов и кубов целых чисел и т. п. и рассмотреть аналог теоремы Варинга. Экспериментальное исследование на счетных машинах быстро нащупает правдоподобные формулировки.