7. Некоторые вопросы относительно групп

Имеет ли каждая сепарабельная непрерывная группа, рассматриваемая только как абстрактная группа, изоморфную ей подгруппу группы всех перестановок целых чисел? Очевидно, что является в этом смысле «универсальной» для всех счетных групп (т. е. каждая счетная группа изоморфна ее подгруппе). Можно далее показать, что некоторые группы мощности с как, например, аддитивная группа действительных чисел, также изоморфны подгруппе Доказательство основано на том факте, что есть рациональное векторное пространство с базисом (Хеймл), имеющим мощность континуума, и что содержит свободное произведение континуума групп, изоморфных группе рациональных чисел относительно сложения.

Пусть подгруппа 5 обладающая тем свойством, что для каждых двух множеств целых чисел одинаковой мощности, дополнения к которым также имеют одинаковую мощность, существует перестановка которая переводит одно из этих множеств в другое. Совпадает ли с (Шевалье, фон-Нейман и др.)?

Если в симметрической группе перестановок целых чисел две пары элементов подобно сопряжены, т. е. существует такой, что то, очевидно, каждый элемент, порожденный а и сопряжен соответствующему элементу, порожденному

Справедливо ли обратное? То есть если каждая комбинация а и сопряжена соответствующей комбинации а и (хотя, может быть, с разными х, зависящими от этой комбинации), то будут ли а и одновременно сопряжены к а и

Следующий вопрос поставлен Ауэрбахом. Пусть группа матриц порядка таких, что каждая циклическая подгруппа ограничена. Ограничена ли Для ответ утвердительный.

Вопрос, который мы сейчас поставим, относится к чисто групповым свойствам некоторых важных бесконечномерных непрерывных групп. Позже, при обсуждении топологических

групп, мы сошлемся на простоту группы всех гомеоморфизмов окружности — результат Шрейера и Улама [2], на соответствующий результат фон-Неймана и автора о группе гомеоморфизмов сферы и на недавние результаты Андерсона. Этот вопрос — обладает ли рассматриваемая группа нормальными делителями (кроме тождественного элемента) — представляет интерес для групп изометрических преобразований банаховых пространств в себя.

Является ли простой группа всех сохраняющих меру преобразований интервала

Существует ли универсальная константа с (не зависящая от размерности) такая, что для каждой неприводимой группы О ортогональных матриц порядка существует вектор и длины 1, для которого некоторые образов где отделены друг от друга больше чем

Эта константа, вероятно, Вполне вероятно, что группа вращений пятиугольника в плоскости имеет минимальное значение с.

Если справедлив положительный ответ на этот вопрос, то он может оказаться важной леммой в геометрическом подходе к проблеме Гильберта [1] о введении аналитических параметров в непрерывную группу; эта проблема была недавно решена Глизоном и Монтгомери, см. Монтгомери [1].