7. Некоторые задачи об электромагнитных полях

Математические исследования Пуанкаре, Биркгофа и их последователей об общих качественных и асимптотических свойствах движений, заданных динамическими системами, и соответствующие эргодические теории нуждаются теперь в обобщении на системы с бесконечным числом степеней свободы. Недавние успехи в области магнитной гидродинамики — изучении движения и поведения ионизированной материи в электромагнитных полях, — стимулируют

соответствующие исследования на более высоком топологическом уровне. В частности, необходима теория, описывающая топологические свойства семейств магнитных силовых линий в пространстве. В простейшем случае можно представлять себе эти линии как возникшие благодаря стационарным электрическим токам в фиксированной системе кривых (проводников).

В этой связи возникают некоторые интересные задачи. Начнем с простейшей. Рассмотрим одну замкнутую кривую и постоянный электрический ток вдоль этой кривой. Существует ли такая кривая, для которой хотя бы одна из возникающих при этом магнитных силовых линий была бы плотной в некоторой области пространства. (Легко найти системы проводников такие, что магнитные линии будут, вообще говоря, плотными на поверхностях. Высказываемые иногда утверждения, что магнитная линия или замкнута, или идет из бесконечности в бесконечность, очевидно, неправильны. Например, если ток идет по двум кривым — оси и единичной окружности в плоскости то силовые линии будут плотными на торах, за исключением счетного числа поверхностей.) Было бы интересно описать системы магнитных силовых линий, возникающие благодаря току, проходящему по заузленному (бесконечно тонкому) проводнику. В частности, предположим, что ток проходит через узел вида «клеверный лист». Будет ли система магнитных силовых линий в пространстве, окружающем узел, топологически отражать «заузленность» кривой. Системы магнитных силовых линий могут быть с топологической точки зрения довольно сложными даже в тех случаях, когда они порождаются токами, текущими вдоль прямых. Это видно из расчета свойств силовых линий, возникающих благодаря прохождению тока вдоль трех прямых:

Было бы интересно узнать эргодические свойства силовой линии (эргодические по отношению к конкретной параметризации), например поведение последовательности точек, отстоящих друг от друга на единицу длины вдоль силовой линии. Являются ли, скажем, такие последовательности равномерно плотными в некоторых областях пространства?

Ответы на вопросы такого рода могут, конечно, дать только предварительный материал к построению теории,

которая должна обобщить проделанную работу о динамических системах с частицами. Ясно, что системы с бесконечным числом степеней свободы приводят к рассмотрению бесконечномерных фазовых пространств. Пока нет определения инвариантной меры (инвариантной относительно потока, определенного оператором Гамильтона для задачи), в первую очередь нужно пытаться аппроксимировать бесконечное множество переменных системой с конечным числом переменных и затем перейти к пределу в рассматриваемых функционалах. Дополнительные трудности возникают благодаря тому, что операторы Гамильтона, содержащие силы, которые зависят от скоростей (например, силы Лоренца), требуют при конечной аппроксимации изучения неголономных систем.