6. Обобщенная логика

Попытки представить природу существенных трудностей в основаниях математической логики в чисто алгебраических схемах имеют длинную историю. В этом пункте мы рассмотрим задачи, которые осуществляют некоторые из желательных черт такой программы. В то же время эти схемы, по-видимому, допускают менее знакомые модели, например те, которые могут быть описаны как системы с бесконечным числом кванторов.

Одно из наиболее уязвимых мест проективной алгебры, которое чувствует всякий при обобщениях от плоскости к -мерному пространству, есть данное заранее ограничение числа кванторов.

Обычная логика, которая делает утверждение одновременно только о конечном числе переменных, не страдает от такого ограничения. Более того, очевидно, что постулирование проективных операторов на различные оси излишне и затруднительно. Вместо этого мы могли бы постулировать один проектирующий оператор и одно преобразование переменных (скажем, в Этот оператор и преобразование вместе породят все проективные операторы.

Определим поэтому «проективную алгебру» более общего типа как класс подмножеств множества замкнутый относительно булевых операций и относительно операторов первый из которых мы представляем себе как «проективный» оператор, преобразующий этот класс подмножеств в себя и соответствующий проекции на одну из «осей», а второй — как взаимно однозначное преобразование соответствующее перестановке осей. По-видимому, в терминах таких операторов можно сформулировать систему постулатов, которая в применении к множеству всех двусторонних бесконечных последовательностей действительных чисел будет надлежащим образом содержать обычную логику. Однако возможности расширения формализма и использования все того же специального множества по-видимому, включают логику предикатов с бесконечно большим числом переменных. Как пример предложения, содержащего бесконечно много кванторов, можно привести бесконечные игры (см. ниже гл. I, п. 11).

Формальная структура должна быть такова: рассмотрим класс подмножеств множества замкнутый по отношению к булевым операциям и операторам и ; дополнительно потребуем счетной аддитивности для множеств, входящих в

Всякий такой класс может рассматриваться как бесконечномерная проективная алгебра. Это есть, следовательно, класс подмножеств, содержащихся в и таких, что

Используя свойство 3, можно получить множества, определенные бесконечным числом «кванторных» операций, или множества бесконечного проективного класса. Этого же можно, конечно, достичь с помощью более привычной процедуры, используя только конечное число кванторных операций, но тогда мы должны будем иметь дело с пространствами, содержащими дополнительные переменные.

Может быть, подход, указанный выше, дает ббльшую «алгебраическую» однородность.

Первые задачи будут содержать теорему представления, затем возможность порождения счетных проективных алгебр вышеуказанного типа конечным числом множеств и т. д., подобно задачам о двумерных проективных алгебрах.