4. Бесконечные системы в равновесии

Одно из качественных различий в поведении конечных и бесконечных систем состоит в том, что система с бесконечным числом материальных точек может находиться в состоянии статического равновесия, т. е. в покое, даже под действием притягивающих сил между любыми двумя точками. Например, можно найти бесконечное счетное множество точечных масс и множество начальных положений

этих точек на единичном интервале такое, что: а) массы притягивают друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния; в) вся система находится в статическом равновесии, т. е. сумма сил, действующих на каждую материальную точку, существует и равна 0. Это равновесие не будет устойчивым, т. е. произвольно малые смещения из таких начальных положений могут привести к движениям системы, которые заставят ее разрушиться или, во всяком случае, приведут к конфигурациям, которые при неограниченном возрастании времени будут все больше и больше отличаться от начального положения.

Легко найти такие распределения материальных точек с притягивающими силами, что начальные движения будут распространяться все дальше!

Было бы интересно найти две «по-настоящему» трехмерные бесконечные системы точек с конечной общей массой и расположенные так, чтобы результирующая сила в каждой точке была равна нулю. Хотелось бы, чтобы эти системы имели больше чем одно измерение в следующем смысле. Множество всех возможных направлений, т. е. углов между парами точек, должно быть плотно на единичной окружности или для трехмерного распределения точек множество направлений между парами точек должно быть плотно на единичной сфере.

Могут ли быть найдены системы указанного вида, которые будут даже плотны на интервале или в области соответствующего числа измерений?