4. Преобразование Фробениуса

Пусть измеримое невырожденное преобразование единичного интервала в себя. Речард [1] изучил преобразование пространства в себя, определенное равенством

По причинам, которые мы укажем позднее, это может быть названо преобразованием Фробениуса — Перрона, отвечающим Можно показать, что преобразование тогда и только тогда имеет неотрицательную иивариантную функцию такую, что

подмножество отрезка [0, 1], на котором обращается в нуль), когда функция множеств равномерно абсолютно непрерывны по отношению к лебеговой мере

При этих обстоятельствах для каждого интервала из отрезка [0, 1] и для почти всякого х существует предел

который (если метрически транзитивна) равен Здесь характеристическая функция отрезка

Например, если есть кусочно-линейная функция п. 2, то преобразование определено формулой

и функция тождественно равна 1. Отсюда следует, что если есть квадратичная функция для которой преобразование имеет вид

то соответствующая функция задается формулой

Из этих замечаний возникает следующий вопрос. Пусть преобразование единичного интервала в себя определено достаточно «простой» функцией (например, кусочнолинейной функцией или многочленом), график которой пересекает линию под углами, тангенсы которых по абсолютной величине меньше единицы. Имеет ли соответствующее преобразование нетривиальную инвариантную функцию? Неизвестно даже, справедливо ли это для всякого, преобразования вида

где а легко показать, что такая функция имеется).

Преобразование Фробениуса-Перрона, отвечающее функции можно рассматривать как непрерывный аналог следующего преобразования, определенного на множестве ступенчатых функций на отрезке [0, 1]. Пусть единичный интервал разделен на равных не перекрывающихся подинтервалов обозначим через долю интервала, которая переводится функцией в I-й ннтервал, т. е. положим

Если ступенчатая функция, определенная на интервалах то мы определим преобразованную функцию равенством

где

Другими словами, вектор коэффициентов есть результат преобразования вектора матрицей а.

Если. два подмножества отрезка [0, 1], каждое из которых состоит из конечного числа интервалов и если то

Матрица имеет наибольшее собственное значение, равное 1, и соответствующий неотрицательный собственный вектор который определяет ступенчатую функцию инвариантную при преобразовании Мы предполагаем, что если преобразование Фробениуса — Перрона имеет

неотрпцательную инвариантную функцию то инвариантные ступенчатые функции сходятся к в когда число «ступенек», стремится к бесконечности.

При довольно слабых ограничениях на матрицу (например, если некоторая степень содержит только положительные элементы) теорема Фробениуса — Перрона утверждает, что инвариантная ступенчатая функция есть предел при последовательности итераций где - произвольная неотрицательная ступенчатая функция, не равная нулю тождественно. Справедлив ли подобный результат для общего непрерывного преобразования Фробениуса-Перрона? Другими словами, если не равна нулю тождественно, то сходится ли последовательность итераций к Расчет показывает, что в случае это имеет место.