6. Динамический поток в фазовом пространстве

Динамическая система из материальных точек может быть хорошо известным способом представлена в качестве единственной точки в -мерном пространстве, т. е. в фазовом пространстве обобщенных координат и моментов. Совокупность всех возможных начальных положений и моментов определит множество точек в этом пространстве. Изменение положений и скоростей системы во времени определит тогда сохраняющий меру поток — преобразование фазового пространства в себя. Математические труды в течение последних десятилетий дали описание некоторых свойств таких преобразований; в частности, эргодические теоремы Неймана и Биркгофа (см. Хопф [1], Хинчин [1]) дали строгое математическое обоснование для идей статистической механики. Известно также, что среди всех возможных сохраняющих меру потоков (непрерывных преобразований многообразия в себя) эргодические потоки, т. е. те, которые являются метрически транзитивными, образуют, в некотором смысле, общий случай (Окстоби и Улам [1]). Эти результаты показывают, что почти все непрерывные сохраняющие меру

потоки обладают тем свойством, что среднее значение времени равно среднему значению пространства, но это еще не было доказано в общем случае динамических потоков, т. е. потоков, определенных дифференциальными уравнениями с данными операторами Гамильтона. Кроме того, имеется недостаточная информация качественного характера об общих свойствах динамических потоков в фазовом пространстве. Одно такое свойство, впервые определенное и изученное Пуанкаре, есть свойство «перемешивания». Грубо говоря, оно состоит в следующем: пусть в фазовом пространстве дана область А и область В. Через достаточно долгое время мера той части образа А, которая содержится в области В, сделается приближенно равна произведению на

Величина, представляющая большой физический интерес, есть скорость перемешивания. Эта задача интересна, конечно, в фактическом гидродинамическом потоке жидкости в трехмерном пространстве. Вообразим себе, что в начальный момент поток имеет вполне регулярный вид, скажем, почти ламинарный, всего с небольшим нарушением регулярности, наложенным вначале как возмущение. Со временем движение станет все более и более нерегулярным и через достаточно долгий промежуток времени очень сложным и турбулентным.

Если приходится рассматривать аппроксимацию действительного потока большим числом точек и их фазовым пространством, то область В фазового пространства, точки которой отвечают сильно нерегулярному распределению скоростей данной трехмерной жидкости, несомненно, занимает очень большую часть общего объема фазового пространства. Для теории турбулентности важно знать что-нибудь о быстроте, с которой множество А точек, отвечающих гладкому или регулярному распределению скорости в действительном потоке, стремится проникнуть в значительно большую область В фазового пространства, отвечающую турбулентным движениям. Этот вопрос является, конечно, специальным случаем общей задачи: как оценить для динамической системы быстроту проникновения фазового пространства из одной области в другую в потоке.

Математическая трактовка эргодических свойств механических систем широко опирается на теорию меры. Такой же характер имеет и определение перемешивания. Чтобы получить дополнительное описание поведения таких систем,

было бы интересно ввести метрические понятия. Понятие меры является естественным для фазового пространства — теорема Лиувилля относится к таким мерам, установленным для любой лагранжевой системы координат. Топология фазового пространства также вполне естественно задается этими координатами. Когда же дело доходит до определения метрики, т. е. расстояния между любыми двумя точками фазового пространства, то никакое единое определение не кажется несомненным.

Чтобы на равных основаниях рассматривать и координаты, и моменты, нужно свести, скажем, эти последние к количествам, выраженным в единицах длины, так как расстояние будет аддитивно зависеть и от координат, и от моментов. Если бы это было сделано, то следовало бы исследовать понятие перемешивания в дополнение к его поведению с точки зрения теории меры еще и с более геометрической точки зрения. Можно, например, потребовать, чтобы для общего потока две фиксированные точки с определенным начальным расстоянием между ними передвигались таким образом, чтобы расстояние между ними как усредненная функция времени стремилось к среднему расстоянию между любыми двумя точками фазового пространства. Для того чтобы это последнее могло быть определено, фазовое пространство должно быть ограниченным (компактным). Как еще более сильное требование можно определить «метрическое перемешивание», требуя аналога вышеуказанного свойства для наборов из точек.

Приведем другую иллюстрацию типа задач, включающих оценку быстроты. Рассмотрим задачу о трех притягивающихся телах, скажем, с равными массами и с данной общей энергией.

Начальные условия пусть будут таковы, что кинетическая энергия приблизительно равна потенциальной энергии системы. Для некоторых специальных начальных условий эти три точки могут все время оставаться в ограниченной части пространства положений. При других начальных условиях одна из точек может через некоторое время начать удаляться от остальных двух (в том смысле, например, что ее расстояние от центра масс двух других точек будет неограниченно возрастать).

Первый вопрос: если дана общая энергия системы, то каков объем части фазового пространства, отвечающий условиям, гарантирующим последующую ограниченность системы в пространстве? Для случая неустойчивых систем — каково среднее время их жизни, т. е. время, после которого одна из точек удалится от двух других в смысле, указанном выше? На языке фазового пространства интерес представляет быстрота, с которой область, занимаемая точками, отвечающими ограниченным конфигурациям, переходит в область, отвечающую точкам фазового пространства, в которых одно из трех тел удалено от двух остальных.

Так как едва ли была проделана вычислительная работа по задачам о быстроте процесса в вышеуказанном смысле, то для выяснения теорем, которые можно пытаться доказывать, имела бы эвристическую ценность работа на вычислительных машинах. Обычные соображения о времени «релаксации» основаны исключительно на величине объемов в фазовом пространстве и им, вообще говоря, недостает строгости. В последней главе мы рассмотрим некоторые эвристические возможности, открытые теперь благодаря вычислениям на электронных машинах.