9. Неизмеримые проективные множества

Гёдель доказал, что существование проективных множеств, не измеримых в смысле Лебега, не противоречит аксиомам теории множеств; т. е. утверждение, что такие множества существуют, или справедливо в некоторой аксиоматике теории множеств, например в аксиоматике фон Неймана, или не зависит от этих аксиом. Было бы интересно доказать, что существование таких множеств следует из гипотезы континуума.

Мы наметим сейчас возможные подходы к этой задаче с использопанием некоторых конструкций в произведении пространств.

Результат Гёделя показывает фактически большее, а именно что в такой аксиоматической трактовке теории множеств непротиворечиво утверждение о том, что для всех проективных множеств не существует счетно-аддитивной меры, равной нулю на множестве, состоящем из одной точки.

Приняв гипотезу континуума, можно сформулировать подобные задачи о существовании проективных множеств с другими «парадоксальными» свойствами, например множеств, не обладающих свойством Бэра (множество обладает этим свойством, если оно или его дополнение является на каждом интервале суммой счетного числа нигде не плотных множеств).

Пусть дано эффективное или конструктивное разложение интервала в множеств, каждое из которых имеет лебегову меру 0. Мы укажем, как можно конструктивно, т. е. проективно, построить неизмеримое множество, представляющее собой сумму множеств, используемых в этом разложении. Конструкция эта дана в работе автора (Улам [1]) и сводится в основном к следующему.

Можно построить дважды бесконечную матрицу, элементы которой являются подмножествами множества мощности со следующими свойствами. Каждая строка матрицы представляет собой разложение на непересекающихся множеств. Имеется счетное число строк и несчетное число столбцов. Сумма множеств в каждом столбце дает все множество за исключением не более чем счетного числа элементов (которые должны быть первоначальными множествами, имеющими меру 0). Сумма элементов каждого столбца есть, таким образом, множество меры 1. Таким образом, в каждой строке существует по крайней мере одно множество положительной меры. Это ведет к противоречию, потому что при счетном множестве строк и несчетном множестве столбцов найдется по крайней мере одна строка, в которой стоит несчетное число попарно непересекающихся множеств, каждое из которых имеет положительную меру, что невозможно.

Таким образом, если мы можем установить существование конструктивного разложения интервала на проективных множеств, каждое меры 0, то конструкция, использованная в цитированной работе, приведет, как мы покажем, к множеству, также проективному и неизмеримому.

Мы предлагаем возможный путь для получения такого разложения. Обозначим через отображение Пеано отрезка

на квадрат, которое сохраняет меру (т. е. линейная мера множества на интервале равна площади его образа в квадрате и обратно). Рассмотрим теперь множество X меры О на интервале такое, что его образ при отображении содержится в множестве Примем дальше, что есть собственное подмножество множества Мы хотим показать существование конструктивного множества также меры О и содержащего X как истинное подмножество.

Возьмем и определим как (.

Так как сохраняет меру, то имеет меру 0 и, следовательно, также имеет меру 0. Рассмотрим теперь Это множество содержит (X,). Вообще предположим, что множества определены для всех и что содержит Положим для всех Тогда содержит следовательно, для всех Возьмем Это будет множество, содержащее Назовем его

Продолжая этот процесс, мы получим вполне упорядоченную последовательность множеств, которые увеличиваются и все имеют меру 0.

В предположении, что мощность континуума есть этот процесс остановится на порядковом трансфините не выше третьего класса. Мы получим, таким образом, разложение интервала во вполне упорядоченную последовательность проективных множеств, имеющих меру 0.

Теперь можно использовать конструкцию, описанную в статье в журнале Fundamenta Math., т. 16, в которой точками будут служить множества полученной последовательности. Все элементы нашей матрицы будут проективными множествами. По меньшей мере одно из них должно быть неизмеримо. Это доказывает теорему о существовании проективного множества, не измеримого по Лебегу.

Замечание 1. Этот метод фактически доказывает более общий результат. Для каждой вполне аддитивной меры, для которой существует отображение интервала на квадрат, сохраняющее меру в этом квадрате, и для которой справедлива теорема Фубини, существуют проективные множества, не измеримые по этой мере.

Замечание 2. Те же рассуждения могут показать существование проективных множеств, не обладающих свойством Бэра, т. е. проективных множеств, которые не являются множествами первой категории на некотором совершенном множестве и дополнения к которым не являются такими множествами.

Замечание 3. Возможно, что некоторое распространение этого метода позволит получить существование проективного множества, не обладающего -свойством Лузина.

Все эти результаты получаются, если принять гипотезу континуума. Вероятно, они остаются в силе при более слабом предположении, что мощность континуума меньше, чем первый недостижимый алеф (больший, чем

Задача. Существует ли мера, принимающая два значения для всех подмножеств множества, мощность которого есть первый недостижимый алеф?

Мы снова соберем в одно целое наш подход к вопросу о существовании проективных множеств, не измеримых в смысле Лебега, и наметим другой возможный подход, чтобы установить лемму о «проективных» разложениях интервала в множеств меры 0. Основная роль здесь принадлежит упомянутой выше теореме: не существует вполне аддитивной меры, определенной для всех подмножеств множества мощности Ни раиной 0 на множествах, состоящих из одной точки, и равной 1 для всего (см. Улам [1]). Доказательство основано на существовании разложения множества в дважды бесконечную матрицу множеств (являющихся подмножествами которое столь же хорошо применимо, если имеет мощность континуума, но может быть разложено в множеств меры 0.

Если разложение, использованное в цитированной выше работе, может быть признано конструктивным, то это доказательство несуществования меры также является конструктивным.

Было бы интересно усилить результат Гёделя, доказав, что существование проективных множеств, не измеримых по Лебегу, следует из принятия гипотезы континуума или даже более слабой гипотезы, а именно, что мощность континуума меньше, чем первый недостижимый Отметим, что достаточно показать существование разложения интервала в К множеств, каждое из которых имеет лебегову меру 0,

где К — кардинальное число меньшее, чем первый недостижимый причем разложение конструктивно в следующем смысле: сумма подпоследовательности множеств разложения, отвечающая конструктивному классу порядковых чисел, понимается здесь как «конструктивная» в смысле, например, Куратовского 12,3].

Если имеется такое разложение, то конструкция, предложенная в работе автора (Улам [1]), дает множество, полученное из данных множеств путем проективных операций и которое, как было показано выше, должно быть неизмеримо.

Решающим моментом поэтому является доказательство возможности разложения интервала, например, в множеств, имеющих меру 0, и притом так, чтобы само разложение было «проективно». Можно предложить следующий подход к такой конструкции, отличный от вышеуказанного. Будем исходить из хорошо известного лебеговского разложения интервала в непересекающихся борелевских множеств, имеющих дополнительное свойство, что если число принадлежит множеству то всякое число где рационально, также принадлежит В силу этого свойства множества все должны иметь лебегову меру 0 или 1. Если все они имеют меру 0, то мы имели бы желаемое разложение, так что мы можем предположить, что одно из множеств будет иметь меру 1. Операции, которые мы будем производить над множествами, начиная с этого момента, всегда будут приводить к множествам, которые инвариантны по отношению к добавлению рационального числа, так что эти множества тоже будут иметь меру 0 или 1 или будут неизмеримы. Так как все эти множества будут проективными, то мы можем допустить, что все они измеримы, в противном случае наш результат был бы уже доказан.

Нужна следующая общая лемма.

Если дано несчетное проективное множество, мы можем «проективно» поставить ему в соответствие его истинное подмножество. Это для наших целей заменит необходимость пользоваться аксиомой выбора, которая, конечно, разрушила бы конструктивный характер построения. Пусть есть взаимно однозначное отображение интервала в квадрат. Это может быть выбрано как борелевское преобразование, а именно преобразование второго класса по Борелю. Рассмотрим множество содержащееся в интервале.

Рассмотрим далее множества Мы можем рассмотреть разделение всего единичного квадрата на четыре подмножества: есть дополнение до всего интервала, Если не содержится целиком в одном из этих подмножеств, то прообраз двух частей лежащих в двух различных множествах этого разбиения, дает нам разложение на две непустые части, что доказывает наше утверждение о существовании истинного проективного подмножества Предположим теперь, что целиком содержится в одном из указанных четырех множеств. Мы можем предположить, что если есть подмножество то оно не содержит точек на диагонали квадрата, потому что, если это не так, мы могли бы, выкинув прообразы этих точек, получить истинное подмножество

Рассмотрим часть диагонали, которая отвечает множеству Эта часть, назовем ее содержится в в силу замечания, что Возьмем в интервале множество Если это множество имеет конструктивное истинное подмножество, мы сможем определить конструктивное истинное подмножество самого множества в силу существования конструктивного отображения

Рассмотрим разложение интервала на множества и разбиение квадрата на девять множеств, полученных перемножением этих множеств: и шесть произведений этих множеств интервала друг на друга.

Предположим, что целиком содержится в точности в одном из множеств этого разложения. Рассмотрим далее на диагонали множество, отвечающее множеству назовем его Всякое истинное проективное подмножество немедленно дает нам проективное подмножество что и докажет нашу теорему. Достаточно, следовательно, найти такое подмножество Мы можем повторить рассуждение, приведенное выше, и придем к множеству С помощью трансфинитной индукции можно продолжить этот процесс до любого порядкового числа второго или третьего класса. Если мы сделаем предположение, что мощность континуума не больше то эта цепочка множеств должна оборваться, что дает нам истинное подмножество

множества данного вначале. Лемма, таким образом, доказана.

Рассмотрим теперь для данного множества его истинное подмножество, которое мы обозначим через Из множеств одно и только одно должно иметь меру 1. Мы применим к нему лемму и получим множество и его дополнение. Таким образом мы можем определить последовательность множеств имеющих меру 1, если только они измеримы. Пересечение этих множеств все еще будет множеством меры 1 в силу аддитивного свойства меры. Используя лемму для этого множества, которое мы назовем мы получим множество единичной меры Можно продолжить нашу конструкцию по трансфинитной индукции, причем аксиома выбора нигде не используется, так как истинное подмножество всегда выбирается эффективно, как имеющее меру 1.

Мы можем считать, что пересечение таких множеств все еще имеет меру 1. В противном случае мы получили бы желаемое размножение в множеств меры 0, используя дополнения этих множеств. Поэтому наша конструкция может быть продолжена до порядковых трансфинитов третьего класса. Однако если мы примем гипотезу континуума, то для некоторого числа третьего класса мы должны получить пустое множество. Поэтому должна существовать цепочка длины из множеств, имеющих меру 1, с пустым пересечением, что и доказывает наше утверждение.

Мы повторяем, что все шаги нашей конструкции являются эффективными, т. е. аксиома выбора нигде не использовалась, так что разложение интервала на множеств меры О проективно, по крайней мере в широком смысле слова.