8. Мера в абстрактных множествах

Известно (ср. Улам [1]), что не существует счетноаддитивной меры определенной для всех подмножеств А множества мощности равной нулю для множеств, состоящих из одной точки и такой, что

Существует ли класс мер где пробегают множество мощности, меньшей чем такой, что каждое подмножество измеримо по крайней мере в одной из этих мер?

Это задача Эрдёша и автора. Частичные результаты были получены Алаоглу и Эрдёшем.

Пусть множество порядковых трансфинитов, меньших чем первое порядковое число, отвечающее несчетной

мощности. Таким образом, имеет мощность Рассмотрим класс подмножеств представляющих собой арифметические прогрессии (этот класс является во множестве аналогом класса двоичных интервалов в множестве всех действительных чисел). Рассмотрим борелевское поле множеств над этим классом подмножеств. Можно ли определить счетно-аддитивную меру, в которой все множества этого поля были бы измеримы? Подобные же вопросы можно поставить относительно а) аналитического класса над множеством арифметических прогрессий и б) «проективных» подмножеств из (над тем же классом).

Еспи множество имеет мощность, равную какому-либо недостижимому алефу К, то существует ли счетно-аддитивная мера, определенная для всех подмножеств со свойствами где произвольная точка из

Известно, что результат о невозможности определения вполне аддитивной меры для всех подмножеств множества справедлив для всех множеств, мощности которых являются достижимыми числами. Кажется правдоподобным, что для множеств, мощность которых есть недостижимое кардинальнее число, аксиомам теории во всяком случае не противоречит существование меры, принимающей два значения, счетноаддитивной и определенной для всех подмножеств. В действительности, если К есть мощность, равная первому недостижимому кардинальному числу, то для вероятно, может быть получена более сильная аддитивность.