5. Некоторые топологические инварианты

Не существует алгоритма, который позволяет определить — являются ли две кривые в трехмерном пространстве «зацепленными». Достаточное условие зацепления состоит в том, чтобы интеграл Гаусса по двум кривым был отличен от нуля (см. Александров, Хопф [1]). Элементарные примеры показывают, что это условие не необходимо. (Мы рассматриваем здесь две кривые как незацепленные, если существует гомеоморфизм всего пространства, при котором образы обеих кривых содержатся в непересекающихся сферах).

Проведем из каждой точки одной кривой вектор в каждую точку другой кривой. Если все эти векторы отнести к общему началу и нормировать, то мы получим отображение тора, который является прямым произведением двух кривых в единичную сферу. Следует ли из того, что кривые зацеплены, то, что это отображение не стягивается в точку?

Предположим, что система векторов в трехмерном пространстве образует замкнутый многоугольник. Сумма таких векторов равна нулю. Если мы рассмотрим сумму моментов этих векторов относительно некоторой точки, то любопытно, что она также может быть нулем.

На плоскости для многоугольника, образующего простую жорданову кривую, суммарный момент векторов, образующих замкнутый многоугольник, не может быть равен нулю; действительно, его величина равна удвоенной площади многоугольника.

Однако легко найти шестиугольник в трехмерном пространстве, общий момент которого относительно любой точки равен нулю. Это указывает на возможность существования топологических инвариантов, возникающих из моментов различных многоугольников, образованных ребрами комплекса, или из более общих тензорных выражений. Так, например, в гл. III, п. 4 мы рассматривали вопрос об эквивалентности произвольной системы векторов в -мерном пространстве системе векторов, направленных по ребрам фиксированного

симплекса в этом пространстве. Рассмотрим теперь симплициальное разбиение комплекса С, расположенного в -мерном пространстве. Система его ребер, соответственно ориентированных, образует систему векторов, которую мы «представим» на ребрах фиксированного (но произвольного) симплекса о. Возникает вопрос, какие свойства этого представления остаются инвариантными при подразделении С комплекса С (для соответствующего представления результирующей системы векторов, образованных ребрами С на .

Другая конструкция, которая может вести к существенным топологическим инвариантам, такова: пусть топологическое пространство и вещественная функция определенная для всех точек пространства Пусть группа всех гомеоморфизмов А пространства в себя таких, что для всех Два негомеоморфных пространства можно различить, если найти функцию на группа которой не изоморфна ни для какой функции на Например, если есть окружность, единичный интервал, то легко определить функцию на например, любая функция периода, для которой группа есть циклическая группа порядка. Она не изоморфна никакой группе гомеоморфизмов так как интервал не допускает гомеоморфизмов порядка.

Можно, конечно, вместо действительных функций рассматривать отображения пространства в пространства X, отличные от вещественной прямой. Общее предположение таково: если два негомеоморфных многообразия, то существует пространство X и отображение многообразия такое, что группа не изоморфна никакой группе где отображение

К простейшим вопросам принадлежат следующие: какие абстрактные группы могут быть реализованы как группы для данного пространства Например, может ли каждая конечная группа быть реализована как группа , где плоскость? Каковы все счетные группы , которые могут возникнуть из функций заданных на -мерном евклидовом пространстве.

Пусть два перестановочных преобразования 1 в себя замкнутый интервал): Существует ли

общая неподвижная точка Задача сообщена Шилдсом, первоначально поставлена Дайером. Ответ неизвестен даже для Имеются интересные частичные результаты Шилдса, Исбела, Чемберлена и др.