8. Нелинейные задачи

В некоторых из предыдущих пунктов мы упомянули кое-какие вопросы, относящиеся к нелинейным функциональным уравнениям. Ниже будет коротко рассмотрена конкретная задача (такого рода), имеющая некоторый физический интерес. Эта задача исследовалась с помощью вычислений на электронной машине, как первая в систематической последовательности задач возрастающей сложности, приводящих к нелинейным уравнениям. Работа была запланирована Ферми, Паста и Уламом [1]. Ниже будет дан предварительный отчет о мотивировке этой программы и о проделанной части работы.

Первая задача состоит в изучении случая, когда нелинейные члены малы по сравнению с основными, линейными и могут рассматриваться как возмущения в начальном ряду параметров. Изучалось прежде всего колебание струны с закрепленными концами в случае, когда силы между элементами струны в дополнение к обычным линейным членам, возникающим из-за упругости, содержат еще слагаемые, например квадратичные относительно смещений. Линейная задача имеет хорошо известные периодические решения; присутствие дополнительных членов дает со временем «перемешивание» состояний, в которых может находиться линейная система. План состоял в том, чтобы проследить движение в течение длительного времени и получить скорость, с

которой такая система приходит к статистическому равновесию, т. е. состоянию, в котором имеются колебания всех частот. Вычисления, проводившиеся с помощью аппроксимации непрерывной струны конечным числом частиц, были проведены в течение лета 1953 г. на электронной вычислительной машине в Лос Аламосе («МАНИАК» - одна из первых таких машин).

Эта задача должна была служить простейшим примером. Окончательной целью было рассмотрение задач с большим числом независимых переменных в надежде получить материал об общих чертах поведения систем с бесконечным числом степеней свободы и с нелинейными взаимодействиями, как, например, между осцилляторами в квантовой теории или между степенями свободы в электромагнитном или в мезонном поле. В этой связи обсуждались с Ферми математические возможности, относящиеся к тому, что может быть названо «квазисостояниями» (в смысле п. 3 гл. VI).

Для вычислительной работы континуум был заменен конечным числом точек (в фактических расчетах не большим чем 64), так что уравнения с частными производными, определяющие движение, заменялись конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы имели поэтому динамическую систему из 64 частиц. Если означает смещение точки из ее начального положения и а — коэффициент квадратичного члена в выражении силы между соседними материальными точками коэффициент кубичного члена в других задачах), то уравнения имели вид

или

Коэффициенты были выбраны так, что даже в момент максимального смещения нелинейное слагаемое силы было мало по сравнению с линейным членом (например, порядка одной десятой этого члена).

Устремив число частиц к бесконечности, мы получили бы из этих уравнений уравнения с частными производными,

содержащие наряду с обычными для волнового уравнения членами нелинейные слагаемые сложной структуры.

Другой случай, изученный позже, был таков:

где параметры А, В, С не постоянны, а зависят от того, будут ли разности в скобках меньше или больше некоторого заданного заранее значения. Это условие означает, что сила является кусочно-линейной функцией от смещения. Эта кусочно-линейная функция может до некоторой степени имитировать кубичную зависимость.

Решение соответствующей линейной задачи есть периодическое колебание струны. Если начальное положение струны представляет собой, скажем, одну волну синусоиды, то струна будет неограниченное время продолжать колебаться с этой частотой.

Отправляясь от струны в простом начальном положении, например, в виде одной полуволны синусоиды (или, в других задачах, исходя из комбинации нескольких низких частот), мы ставили целью наших вычислений видеть, как благодаря нелинейным силам, возмущающим периодическое линейное решение, струна будет принимать все более и более сложные формы и как при полная энергия струны будет распределяться на все частоты. Чтобы наблюдать это, форма струны, т. е. х как функция I, и полная потенциальная и кинетическая энергия периодически подвергались гармоническому анализу. Это означает лагранжеву замену переменных: введение вместо исходных новых переменных где

Сумма кинетической и потенциальной энергии в задаче с квадратичной силой имеет вид

или

если мы пренебрежем добавкой к потенциальной энергии, возникающей от квадратичных членов в силах, добавкой, которая в нашем случае составляет не более чем несколько процентов от всей энергии.

В каждой из описываемых здесь задач движение системы начиналось при с нулевыми скоростями. «Шаг по времени», с которым велись вычисления, был различным в разных задачах. Время, соответствующее в линейной задаче периоду одного простого колебания, делилось при счете на большое число (до 500) частей. Это необходимо для получения нужной точности. Каждая задача проходила через много «возможных периодов» линейной задачи, так что число временных циклов в каждой задаче доходило до многих тысяч. Число размахов струны было порядка нескольких сотен, если под размахом мы подразумеваем период начальной конфигурации в соответствующей линейной задаче. Распределение энергии по частотам Фурье (5) отмечалось после каждых нескольких сотен вычислительных циклов. Точность вычислений контролировалась постоянством величины, представляющей полную энергию системы. В некоторых случаях с целью контроля просчитывались соответствующие линейные задачи, и результаты оказывались верными с точностью до одного процента или около того даже после 10 000 или большего числа циклов.

Расчет движения производился в переменных после каждых нескольких сотен циклов по вышеприведенной формуле вычислялись величины Следует отметить, что расчет движения может быть проведен непосредственно в переменных Формулы, однако, становятся необозримыми, и вычисления требуют большего времени. Тем не менее расчет в переменных был бы более цоучительным в целях прямого наблюдения взаимодействия между различными

Следует теперь отметить, что результаты наших вычислений с самого начала оказались удивительными. Вместо постепенного непрерывного потока энергии от первой частоты к более высоким во всех задачах обнаружилось совершенно иное поведение.

Начиная с задачи с квадратичной силой и чистой синусоидальной волной в качестве начального положения струны,

мы действительно вначале наблюдали постепенный рост энергии в высших частотах, как это предсказывал, например, Рэлей в анализе возмущений. В этой первой задаче сначала увеличивалась частота 2, затем 3 и т. д.

Позже, однако, это постепенное распределение энергии по последовательно увеличивающимся частотам прекращалось. Вместо него начинала преобладать одна или другая частота. Например, частота 2 решает, как это и было, быстро расти за счет всех остальных частот и становится преобладающей. В некоторый момент в этой частоте сосредоточено больше энергии, чем во всех остальных! Затем эта роль переходит к частоте 3. Первые несколько частот обмениваются между собой энергией в довольно закономерном порядке. Позднее частота 1 принимает с точностью до одного процента свое первоначальное значение, так что система кажется почти периодической. Эта черта заведомо была общей для всех наших задач. Вместо постепенного увеличения энергии во все более высоких частотах ею в основном обмениваются только некоторые из частот. Поэтому в нашей задаче чрезвычайно трудно усмотреть быстроту перемешивания, что являлось первоначальной целью вычислений.

Если посмотреть на эту задачу с точки зрения статистической механики, то положение может быть описано следующим образом: фазовое пространство, точкой которого описывается вся наша система, имеет большое число измерений. Только очень малую часть его объема занимают области, в которых ббльшая часть полной, энергии принадлежит одной или нескольким из всех возможных частот Фурье. Если бы наша система, в которой между соседними точками действуют нелинейные силы, являлась хорошим примером преобразования фазового пространства, т. е. эргодическим или метрически транзитивным преобразованием, то траектория почти каждой точки была бы всюду плотной во всем фазовом пространстве. С подавляющей вероятностью это было бы также верно относительно точки, которая при представляет начальное положение системы; следовательно, эта точка должна была бы провести большую часть времени в областях, отвечающих равномерному распределению энергии между различными степенями свободы. Из полученных результатов видно, что вряд ли дело обстоит так. В эргодических временах пребывания в некоторых областях

фазового пространства может быть обнаружена тенденция приблизиться к пределам, как этого требует эргодическая теорема. Эти пределы, однако, кажется, не соответствуют равномерному распределению по степеням свободы, даже при усреднении по времени.

Конечно, еще труднее усмотреть тенденцию к равномерному распределению энергии между степенями свободы в какой-либо заданный момент времени. Другими словами, в этих системах не очень-то много перемешивания. Поведение таких систем скорее предполагает существование «квазисостояний» в квадратичных задачах, рассмотренных с математической точки зрения в гл. VI, п. 3.