6. Квазинеподвижные точки

Пусть топологическое пространство, непрерывное отображение в себя и к вещественных непрерывных функций, определенных на Мы будем называть квазинеподвижной точкой преобразования по отношению к функциям если

Например, пусть евклидова плоскость, непрерывное преобразование на все Можно показать существование квазинеподвижной точки преобразования по отношению к

Конечно, чтобы получить содержательную теорему, придется наложить ограничения или на или на Очевидно, некоторые могут иметь квазинеподвижные точки относительно любых функций . В частности, такими будут преобразования имеющие просто неподвижную точку

Имеет ли ортогональное преобразование единичной сферы в -мерном пространстве квазинеподвижную точку относительно множества (произвольных) непрерывных функций. Этот вопрос интересен, конечно, только в случае, когда определитель равен —1, и в случае утвердительного ответа он дает обобщение «Antipodensatz» Борсука [1] и автора.

Были бы важными результаты о существовании квазинеподвижных точек в случае, когда представляет преобразование функционального пространства в себя. Действительно, предположим, что оператор в функциональном пространстве и нас интересует существование решения уравнения Вопрос о существовании решения этого уравнения эквивалентен вопросу о существовании неподвижной точки преобразования

В тех случаях, когда существование неподвижной точки установить трудно или невозможно, нам может оказаться достаточным знать, что для некоторых или всех множеств к непрерывных функций на

Эти функционалы могут быть, например, первыми коэффициентами разложения в ее ряд Фурье или степенной ряд или первыми моментами

Конечно, в случае, когда не имеет настоящей неподвижной точки, будет, вообще говоря, зависеть от Тем не менее в ряде приложений может оказаться полезным существование функции для которой функции имеют те же значения, что для

Пусть линейные действительные функции, определенные на гильбертовом пространстве и непрерывное преобразование в себя. Существует ли точка такая, что

Рассмотрим гомеоморфизм евклидова пространства. Предположим, что для любой точки множество итераций есть множество с конечным диаметром и множество всех ограничено: для всех Имеет ли неподвижную точку

Существует ли для каждого многообразия постоянная В такая, что каждое непрерывное преобразование преобразующее в его часть и обладающее тем свойством, что

для всех итераций и всех имеет неподвижную точку

Более общий вопрос: существует ли такая постоянная для каждого локально-связного континуума?