7. Относительная мера

Существует ли для каждого множества А меры 0 (скажем, на интервале) счетно-аддитивная мера относительно которой измеримы, по меньшей мере, все борелевские подмножества А и которая обладает свойствами

Другими словами, мы хотим получить класс мер, которые можно сделать «равномерно относительными».

Предположим, что основное пространство есть единичная окружность мера Лебега, которую можно эквивалентно определить равенством

для почти всех х, где есть характеристическая функция подмножества из и поворот на произвольный угол, радианная мера которого иррациональна.

Пусть В есть борелевское подмножество множества А меры 0. В каких случаях существует предел

и для какого класса подмножеств этот предел дает соответствующую функцию

Другое предложение, исходящее от Шилдса, состоит в том. чтобы рассматривать

где есть обычная мера Лебега, множество точек, расстояние которых от В не превосходит (аналогично определяется ясно, что мы не установим этим способом меры для всех борелевских множеств А меры О с желаемыми свойствами, — действительно, для каждого А, плотного в интервале, меза будет совпадать с мерой его замыкания. Было бы интересно, однако, построить класс измеримых функций с указанными выше свойствами 1) и

2) для достаточно широкого класса множеств А.)