4. Обобщенные проективные множества

Пусть есть некоторый класс подмножеств множества имеющего мощность континуума. Проекции на множеств борелевского класса над «прямоугольниками» есть проективные множества класса над Продолжая индуктивно, можно определить проективные множества класса над Задачи этого пункта основаны на данном определении (см. Серпинский [2]).

Справедливо ли, что для каждой счетной последовательности множеств в существует счетная последовательность множеств такая, что борелевский класс над содержит все проективные множества над

Существует ли в последовательность множеств со свойствами: а) булева алгебра, порожденная множествами содержит несчетное множество атомов и б) все проективные множества над являются множествами по отношению к множествам

Существует ли в последовательность множеств со свойствами: а) совокупность всех борелевских множеств над содержит множества с произвольно высоким

номером борелевского класса; б) все проективные множества над являются борелевскими множествами над

В частном случае: справедливо ли, что для всякого положительного целого существует последовательность множеств со свойством а) предыдущей задачи и свойством : все проективные множества над являются множествами проективного класса Если дана последовательность подмножеств из и преобразование множества на себя, то мы будем говорить, что есть борелевское преобразование по отношению к если прообраз каждого борелевского множества над есть снова такое же борелевское множество. Следует ли из -изоморфизма двух борелевских множеств над классом прямоугольников -изоморфизм этих множеств при преобразовании, борелевском по отношению к

Пусть дана произвольная последовательность множеств в Существует ли взаимно однозначнее отображение в такое, что борелевские множества над в переходят в борелевские множества над и обратно?

В следующей задаче термин «аналитический» имеет свое классическое содержание. Может ли каждое аналитическое подмножество единичного квадрата быть получено борелевскими операциями из «прямоугольников» где аналитические подмножества единичного интервала?

Мы полагаем, что изучение борелевских и проективных операций, исходящих из произвольной последовательности а не из обычной последовательности рациональных или двоичных интервалов, мотивировано следующей возможностью. Может существовать последовательность множеств таких, что число ее атомов несчетно (т. е. «нетривиальная»), и тем не менее такая, что проективный класс над этой последовательностью «проще», чем «классический» проективный класс. Например, последовательность такова, что она позволяет определить вполне аддитивную меру для всех множеств этого проективного класса; это для обычных проективных множеств невозможно согласно следующему результату Геделя: в некоторой системе аксиом непротиворечиво утверждение, что существуют проективные множества, не измеримые в смысле Лебега.

Более того, можно расширить этот результат настолько, чтобы показать, что для всех проективных множеств не может

существовать никакой вполне аддитивной меры. Под мерой мы понимаем функцию множества со свойствами: где все пространство, множество, состоящее из одной точки если

Представляется возможным довольно парадоксальный факт, что такая мера может существовать в классе проективных множеств, определенных, исходя из достаточно «дикой» последовательности Возможно ли, чтобы все такие множества имели свойство Бэра, т. е. были множествами первой категории или их дополнениями?