3. П-изоморфизмы и некоторые обобщения

Прямое произведение двух множеств есть множество всех упорядоченных пар где Аналогично произведение есть множество всех последовательностей В случае, когда все мы будем писать

Два подмножества произведения называются -изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение пространства на все что соответствующее преобразование на себя

переводит Соотношение -изоморфизма рефлексивно, симметрично и транзитивно и образует, таким образом, отношение эквивалентности между подмножествами которое делит класс всех таких подмножеств на взаимно не пересекающиеся подклассы множеств, -изоморфных между собой.

Первые задачи, которые возникают в связи с этим отношением эквивалентности, относятся к вопросам «перечисления». Очевидно, что множества различной мощности не могут

быть -изоморфны между собой. Какова мощность класса всех подмножеств -изоморфных данному подмножеству случае, когда имеет, например, мощность континуума В общем случае эта мощность будет равна конечно, она не может быть больше, так как мощность класса всех подмножеств есть . В некоторых случаях она будет меньше; например, если А состоит только из одной точки на «диагонали» . Тогда каждое -изоморф-ное А множество тоже состоит из одной точки на этой диагонали, и число таких точек есть с. Далее, если то А -изоморфно только самому себе. -изоморфизм подмножества А с собой называется -автоморфизмом. Если имеет мощность с, то число -автоморфизмов подмножества А из различных на А, есть, вообще говоря, 2°. Это имеет место, например, когда Легко построить примеры множеств которые имеют только конечное число -автоморфизмов и, в частности, таких, которые допускают только тождественный автоморфизм. Существует ли для каждого множество, имеющее в точности -автоморфизмов?

Рассмотрим теперь класс К классов эквивалентности -изоморфных между собой подмножеств где и -изоморфизм для произвольного определен очевидным образом как обобщение случая Если мощность множества бесконечна, то мощность К есть Этот результат следует из теоремы о мощности неизоморфйых подмножеств.

Какова мощность К, когда конечно?

Большинство вопросов о мощностях являются в этих случаях трудными. В частности, какова мощность: а) класса подмножеств -изоморфных данному; б) класса К классов эквивалентности -изоморфных множеств; в) множества -автоморфизмов данного множества. Представляют интерес даже хорошие неравенства для этих мощностей. Конечно, в случае а) мощность не может быть больше или мощность К не может быть меньше но «наилучшие из возможных» границ, может быть, найти не столь легко.

Понятие -изоморфизма интересным образом связано с понятием изоморфизма различных математических структур. Предположим, что относительно операции О элементы абстрактного множества образуют группу О. В множестве рассмотрим совокупность всех точек таких, что

Мы можем назвать «представлением» в . Если есть другая группа с элементами из ее представление, то между имеется групповой изоморфизм в том и только том случае, если их представления -изоморфны в

Понятие -изоморфизма является, очевидно, широко применимым, так как определение изоморфизма математических структур зависит только от количества и рода операций, а не от их специальных свойств.

Так, если О есть частично упорядоченное множество, определенное на элементах абстрактного множества с помощью отношения порядка мы можем в взять в качестве его представления ( множество всех пар для которых и установить, что два частично упорядоченных множества на изоморфны (с сохранением отношения порядка) в том и только том случае, когда их представления в -изоморфны.

Ббльшая сложность системы, естественно, требует более высоких степеней основного множества для своего «представления». Таким образом, утверждение «кольцевой изоморфизм -изоморфизм», подобное сформулированному выше для групп и частично упорядоченных множеств, очевидно, справедливо, когда «представление» строится в (так как понятие кольца требует двух бинарных операций). Фундаментальным является вопрос о минимальной размерности произведения необходимого для точного представления системы О. Например: можно ли «представить» группу уже в т. е. эффективно поставить в соответствие каждой группе той же мощности, что и О, подмножество из таким образом, чтобы «представления» были -изоморфны тогда и только тогда, когда группы изоморфны в обычном смысле?

Топологические системы могут быть охарактеризованы представлением в Предположим, например, что есть пространство Фреше, определенное на множестве где для некоторых последовательностей определено Мы можем определить представление пространства как множество точек где Два пространства Фреше определенные на гомеоморфны тогда и только тогда, если их представления -изоморфны в очевидном смысле.

Можно расширить эту процедуру на комбинации алгебраических и топологических объектов, например на топотогические группы.

Немедленно возникают вопросы относительно представлений математических систем. Например, предположим, что есть группа, определенная на единичном интервале (это означает, конечно, только то, что есть множество мощности континуума). Ее представление есть тогда подмножество единичного куба Подмножества можно классифицировать следующим образом: зададим последовательность множеств на и рассмотрим множества В, принадлежащие борелевскому полю над (На прямой за последовательность обычно принимается последовательность рациональных интервалов.) Простейшие множества в есть множества вида где являются -подмножествами интервала

Затем можно рассмотреть подмножества, которые являются дополнениями данных. Все эти подмножества называются подмножествами «класса 0». Подмножества класса 1 — счетные суммы подмножеств класса 0 и их дополнения. Класс 2: суммы подмножеств класса 1 и их дополнения и т. д. Мы получаем аналог борелевской классификации для подмножеств из Задача: существует ли для данного а алгебраическая структура, представление которой имеет минимальный борелевский класс а при любом выборе последовательности (например, существует ли группа О мощности континуума, представление которой было бы класса для любого выбора счетной последовательности «элементарных» множеств)?

Отправляясь от данной последовательности «элементарных» множеств из можно, конечно, пойти дальше борелевской классификации и определить «проективные множества» в способом, вполне аналогичным определению известных проективных множеств Лузина.

Определение -изоморфизма двух множеств в допускает обобщение, которое ведет к интересным вопросам относительно абстрактных систем Будем говорить, что два множества слабо -изоморфны, если существуют взаимно однозначные отображения множества на все такие, что индуцированное преобразование

отображает А на всё В. Можно далее определить слабый изоморфизм двух абстрактных математических структур на элементах как слабый И-изоморфизм их представлений Таким образом, слабый изоморфизм двух групп заданных на равносилен существованию трех взаимно однозначных отображений группы О на таких, что равенство в О влечет за собой для соответствующих элементов

Другое обобщение можно получить, определяя подмножества из как -изоморфные или слабо -изо-морфные относительно разложения в случае, если существуют разложения

такие, что являются -изоморф-ными или соответственно слабо -изоморфными. Это, естественно, ведет к понятию «изоморфизма (слабого изоморфизма) двух структур относительно разложения», определенному в терминах -изоморфизма (или слабого -изомор-физма) их представлений (Миф относительно разложения. Например, являются ли группы 5 (всех перестановок множества целых чисел) и (всех гомеоморфизмов единичного интервала действительных чисел) изоморфными относительно разложения?

Если дано множество «представляющее» некую алгебраическую структуру (над множеством мощности с), то возникает вопрос, является ли оно борелевским или проективным в смысле определений данного параграфа. Эти определения относятся к данной базисной последовательности множеств в Мы называем последовательность абстрактных множеств в множестве измеримой, если можно определить для всех множеств из борелевского поля над вещественную меру со следующими свойствами:

1) ; если состоит из одной точки, то ;

2) , если для Если множество является борелевским или проективным по

отношению к измеримой последовательности то мы назовем данную алгебраическую структуру абстрактно-борелевской или абстрактно-проективной.

Одним из первых возникает вопрос о существовании группы, определенной на множестве мощности с, представление которой было бы не борелевским. В более общей постановке для других алгебраических объектов, например структур или колец: в какой мере множества, замкнутые относительно данных алгебраических операций, выявляют теоретико-множественную «патологию» представляющего множества

Данные выше определения могут быть мотивированы тем, что в структурах, которые заданы, с одной стороны, чисто алгебраическими, а с другой, топологическими или «аналитическими» свойствами, можно с их помощью установить связь между этими свойствами, не зависящую от данной топологии или данной алгебры.