3. Задача об инвариантности размерности

Возможно, что теорема Брауэра (см. Гуревич, Уолмен [1]) об инвариантности размерности допускает следующее обобщение.

Существует ли для каждого целого взаимно однозначное и непрерывное отображение пространства ( вещественная прямая) такое, что для каждого взаимно однозначного борелевского преобразования пространства на все преобразование подпространства является разрывным?

Из утвердительного ответа следует теорема Брауэра о негомеоморфности для Действительно, если бы Я было гомеоморфизмом то тривиально является борелевским преобразованием и было бы непрерывным. Поставленный вопрос можно рассмотреть также для непрерывного и, возможно, не однолистного. Специальный случай легко проверяется.

Как во многих из наших задач, высказанное выше предположение может иметь место при более широких предположениях: для общего пространства такого, что не гомеоморфны для

В скобках можно добавить, что достаточно показать, что не гомеоморфно для и что если гомеоморфно то гомеоморфно Отсюда можно заключить, что для всех не гомеоморфны. В действительности это чисто арифметический факт. Пусть К есть множество пар целых чисел такое, что

1) из следует, что

2) из следует, что

3) из следует, что

Тогда, если К содержит пару то оно должно содержать пару