3. Фундаментальное преобразование «теории уравнений»
Преобразование
где 
есть 
элементарная симметрическая функция, выражает коэффициенты 
уравнения
через его корни 
Обратное преобразование 
«решает» уравнение 
степени. Это обратное преобразование можно рассматривать в 
-мерном действительном или комплексном пространстве.
Многие из утверждений, относящихся к алгебраическим уравнениям, можно сформулировать как элементарные свойства этого отображения. Так, теорема Гаусса о существовании корней есть просто утверждение, что 
есть отображение (обратное к которому неоднозначно) пространства 
а все 
где 
комплексная плоскость. Точки, которые можно построить «с помощью циркуля и линейки», связаны с точками, полученными итерациями обратного преобразования 
где 
Однако топологический характер этого преобразования, по-видимому, тщательно не исследовался. Например, каковы нетривиальные неподвижные точки: 
Начало координат всегда является неподвижной точкой, но есть и другие, например 
для 
Каковы инвариантные
аналитические многообразия 
Какие точки являются периодическими относительно 
Невозможность решить общее уравнение степени 
«в радикалах» означает, что соответствующее 
не есть преобразование, состоящее только из операций поля и извлечения корней. Существует ли, тем не менее, гомеоморфизм 
пространства 
такой, что преобразование, обратное к преобразованию 
будет состоять только из таких операций?
Решение уравнения 5-й степени можно выразить через эллиптические функции (Эрмит), и эти методы были обобщены Пуанкаре. Можно ли показать, что для любого 
преобразование 
может быть получено композицией преобразований меньшей степени 
действующих на соответствующие подпространства пространства 
Можно ли показать, что само 
есть композиция конечного числа преобразований, каждое из которых есть сопряженное 
к некоторому преобразованию 
для 
действующему на соответствующем подпространстве пространства 
