2.6. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

Мы ввели различные виды линейных пространств сигналов. Теперь рассмотрим отображение этих пространств в числовые величины. Такие отображения представляют большой практический интерес в силу их соответствия физически измеряемым параметрам сигналов. Для представления и идентификации сигналов особенно важны линейные измерения. По сути дела главной для нас причиной введения линейных пространств сигналов и наделения их определенными геометрическими свойствами было то, что при этом достигается замечательное соответствие между результатами различных линейных измерений, проводимых над сигналами, и самими сигналами. Ниже обсуждаются различные аспекты этого вопроса.

Отображение комплексного линейного пространства в множество комплексных скаляров , обладающее следующим свойством:

для любых и любых называется линейным функционалом. Если — пространство со скалярным произведением, то из свойства б) (2.28) следует, что

есть линейный функционал. Крометого, если норма ограничена, т. е. то — непрерывный линейный функционал. Это прямо следует из неравенства Шварца: для любого

Тот же результат был получен в примере (2.7) для более общего случая.

Важно, что для полного, т. е. гильбертова пространства любой непрерывный линейный функционал можно трактовать как скалярное произведение (2.52), причем каждому непрерывному линейному функционалу соответствует единственный вектор Доказательство этого утверждения имеется во многих курсах функционального анализа [3, 4]. Существенным моментом доказательства является установление того факта, что множество векторов, которые отображаются в нуль линейным функционалом, есть линейное подпространство пространства Обозначим это подпространство для оператора через Возьмем ненулевой вектор ортогональный к

Если такого вектора не существует, то мы заключаем, что . В противном случае , и для любого вектор

принадлежит так как Умножив скалярно (2.55) на и учитывая (2.54), найдем

где

Пример такого построения линейного функционала в показан на рис. 2.5.

Мы рассмотрим более глубоко соответствие между линейными функционалами и векторами, заметив, что множество линейных функционалов в линейном пространстве 30 само образует линейное пространство.

Рис. 2.5. Линейный функционал

Векторное сложение и умножение на скаляр определяются для функционалов условием:

Эго пространство можно нормировать, если ввести следующие определения нормы:

или, что эквивалентно,

Функционал с конечной нормой называется ограниченным. (Заметим, что при этом не обязательно ограничено.) Ограниченный линейный функционал непрерывен, так как для любого Непрерывность в точке означает непрерывность функционала, так как от не зависит. Обратно, непрерывный линейный функционал ограничен, так как из непрерывности в начале координат следует

при Следовательно, ограниченность у непрерывность линейных функционалов — эквивалентные понятия.

Если к линейному функционалу, записанному в форме скалярного произведения, применить неравенство Шварца и учесть, что равенство достигается, когда х пропорционален у, мы получим

Покажем, что пространство всех непрерывных линейных функционалов, определенных на гильбертовом пространстве 90 (это подпространство пространства всех линейных функционалов на само является гильбертовым пространством, связанным очень простым образом с

Рис. 2.6. Схема отсчетного устройства (квантователя по времени}

Такое пространство называется сопряженным пространством Мы уже видели, что существует взаимно-однозначное соответствие между элементами ? Более того, соответствующие скаляры просто являются комплексно-сопряженными, т. е.

Отсюда следует, что

Легко видеть, что (2.61) можно принять за определение скалярного произведения в пространстве Норма, порождаемая этим скалярным произведением согласуется с общим определением (2.60). И, наконец, если есть базис для то есть базис для , где взаимный базис Следовательно, произвольный линейный непрерывный функционал может быть представлен линейной комбинацией

В некоторых пространствах сигналов, скажем в , мы будем пользоваться не непрерывными (неограниченными) линейными функционалами. Важный пример такого функционала в это представление временной функции ее отсчетами — временное квантование. Ясно, что есть линейный функционал; ясно также, что

существуют функции интегрируемым квадратом, которые не являются ограниченными для всех Рассмотрим, например, принадлежит но не ограничена при . В этом случае мы можем сохранить представление функционала в виде скалярного произведения, если определим -функцию (не в ) следующим образом:

Рис. 2.7. Реализация произвольного линейного функционала

Практически, физическая реализация операции временного квантования непрерывна, поскольку нельзя реализовать бесконечно узкий стробирующий импульс. Типичная схема квантователя приведена на рис. 2.6, где сигнал умножается на прямоугольную стробирующую функцию, достаточно узкую по сравнению с временем изменения квантуемого сигнала.

Рис. 2.8. Другая реализация

Стробирующий сигнал обычно реализуется с помощью ключа, замыкаемого в течение времени разомкнутого в остальное время. Интеграл от близкого к прямоугольному сигналу на выходе ключа приблизительно пропорционален

Аналогично реализуется произвольный линейный функционал над действительными сигналами. Для этого используется перемножающее устройство и интегратор, как показано на рис. 2.7. Конечно, предполагается, что или сигнал, или весовая функция достаточно малы за пределами некоторого конечного интервала времени, так что на выходе интегратора получается значение функционала.

Возможна также другая реализация линейрбго функционала, при которой порядок квантования и умноженийизменен на обратный, как показано на рис. 2.8. Поскольку сигнал на выходе стационарной линейной цепи в момент определяется интегралом свертки

нужное скалярное произведение получится, если импульсная реакция цепи имеет вид

Это означает инверсию во времени и задержку весовой функции, показанной на рис. 2.7.

Из-за того, что в физически реализуемых цепях отлична от нуля только для положительных может потребоваться дополнительная задержка за счет увеличения длительности стробирующего импульса.

Упражнение 2,18. Мы показали» что сопряженное пространство 30 является пространством, в котором определено скалярное произведение. Если это гильбертово пространство, оно должно быть полным. Рассмотреть произвольную последовательность Коши в 30 и показать» что она сходится к точке в 30.

Указания: 1) для 2) предположим, что последовательность чисел сходится к числу, назовем его для каждого х. Показать, что для этого необходимо, чтобы отображение I было линейным и непрерывным

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)