5.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Линейное преобразование X это отображение, определенное на линейном пространстве обладающее следующими свойствами:

или, что эквивалентно»

Здесь и — произвольные векторы из — произвольные скалярные величины. Отсюда следует, что следовательно, множество линейно преобразованных векторов есть линейное пространство с тем же множеством скаляров, что и область определения данного преобразования

Поскольку множество скаляров само образует линейное пространство (R или С), ясно, что линейные функционалы, обсуждавшиеся в § 2.6, есть частный случай линейных преобразований (с одномерной областью значений). Некоторые свойства линейных функционалов можно распространить на линейные преобразования. Кроме того, в ряде случаев линейное преобразование удобно выражается с помощью упорядоченной последовательности линейных функционалов.

Если входные и выходные линейные пространства нормированы, то они являются метрическими, и мы получаем возможность исследовать вопрос о непрерывности линейных преобразований. Линейное преобразование обладает тем свойством, что непрерывность в одной точке (скажем, при эквивалентна непрерывности во всех точках, т. е. непрерывности преобразования. Чтобы показать это, напомним, что непрерывность в начале координат означает, что для любого существет такое что

Но поскольку то

Теперь, рассматривая произвольную точку заменим х на и используем те же в что и выше. Тогда получается

Следовательно, непрерывность в начале координат и непрерывность вообще эквивалентны.

Другое важное свойство состоит в том, что, как и в случае линейных функционалов, непрерывность и ограниченность эквивалентны. Преобразование X называется ограниченным если существует действительная константа К, такая, что

Полагая в (5.4) заключаем, что ограниченное линейное преобразование непрерывно. С другой стороны, чтобы доказать ограниченность непрерывного линейного преобразования, достаточно показать, что при всех х, для которых Пусть тогда

Таким образом, непрерывность предполагает ограниченность, и мы показали что для линейных преобразований ограниченность и непрерывность эквивалентны.

Для общей теории линейных преобразований важно, что множество всех линейных преобразований некоторого линейного пространства само является линейным пространством, в котором определены векторное сложение и умножение на скаляр:

Рис. 5.2. Схемы эквивалентных векторных и скалярных операций над линейными преобразованиями: сложение (параллельное соединение): ; умножение на скаляр: векторное умножение (каскадное соединение):

Эти операции имеют простые схемные аналоги» показанные на рис. 5.2, сложению соответствует параллельное соединение блоков, а умножению на скаляр — последовательное соединение блока и идеального усилителя с коэффициентом усиления а, Усилитель может стоять как на входе, так и на выходе блока.

Пространство линейных преобразований можно нормировать подобно тому, как-то делалось для линейных функционалов:

или что эквивалентно,

Если пространства входов и выходов идентичны, линейное преобразование называется линейным оператором. Таким образом, линейный оператор — это линейное преобразование, отображающее область своего определения в себя. Для операторов естественно ввести еще одну векторную операцию, называемую произведением. Произведение двух операторов есть составное отображение вида

Физическим эквивалентом произведения является каскадное соединение (в нужном порядке) блоков, реализующих операторы — сомножители (рис. 5.2, в). Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, так что

Следовательно, операторы не только образуют линейное пространство, но формируют также алгебру [1]. Алгебра операторов не коммутативна (в общем случае но она содержит единичный элемент определяемый условием для всех х. Если оператор осуществляет взаимно-однозначное отображение области определения на соответствующую область значений, то существует обратное отображение, и можно показать, что оно также линейно. Такой оператор называется сингулярным, он имеет обратный по умножению оператор такой, что