5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

5.1. ВВЕДЕНИЕ

Во всех системах, кроме самых элементарных, сигналы подвергаются различным изменениям, проходя через отдельные блоки. Преобразователи, сканирующие устройства, модуляторы, усилители, фильтры, кодирующие устройства, каналы передачи и т. д. — все они видоизменяют сигнал, и это должно учитываться при анализе работы системы в целом. Ввиду большого разнообразия

форм употребительных сигналов желательно, очевидно, иметь общий способ для описания преобразующих свойств отдельных узлов системы. Помимо описания преобразований, производимых различными блоками, правомерно также рассматривать обратную задачу о синтезе физических блоков, подсистем или схем, реализующих то или иное преобразование сигнала.

Такие задачи встают, например, в связи с устройствами обработки сигналов, когда в систему специально вводятся некоторые блоки для достижения той или иной цели. Примерами могут служить корректирующие звенья, компенсирующие искажения в преобразователе и в канале/тередачи, а также фильтры, уменьшающие влияние мешающих сигналов и шума.

С точки зрения теории систем преобразование сигнала есть указание связи входа с выходом для системы или цепи, представляемое просто в виде блока, как показано на рис. 5.1. Математически преобразование трактуется как отображение одного множества сигналов в другое (см. § 1.3).

Рис. 5.1 Отображение сигнала.

Мы не противопоставляем эти трактовки. Наоборот, для понимания часто удобно интерпретировать математические операции в виде блок-схем. Соответственно, отображаемая область есть в нашем случае пространство входов 30, а пространство выходов должно быть выбрано так, чтобы оно включало, всю область значений данного преобразования, т. е. образы всех входных сигналов. В общем случае, для описания отображения мы должны знать все пары вход — выход т. е. граф отображения. Но в большинстве случаев полный граф построить не удается просто потому, что в нем необходимо указать и как-то упорядочить слишком много пар вход — выход. Если, однако, ограничиться линейными преобразованиями, то оказывается, такое отображение можно полностью описать, используя сравнительно небольшое подмножество из всех возможных пар вход—выход. Другими словами, образ произвольного входного сигнала можно представить через образы сигналов из некоторого подмножества. Эта важная особенность известна как свойство суперпозиции линейных преобразований. К счастью, в большинстве систем имеется много линейных или квазилинейных блоков, так что подробное изучение линейных преобразований весьма важно для практики. Следует отметить, что линейные цепи выполняют линейные преобразования во всех случаях, когда они находятся в состоянии покоя до подачи сигнала на вход. В этих случаях выходной сигнал зависит только от входного и не связан с какими-либо переходными процессами в других источниках энергии, имеющихся в схеме. Но, если последнее условие не выполняется, выходной сигнал не будет линейно зависеть от входного.

В этой главе мы разработаем методы представления линейных преобразований. подобные представлениям сигналов. Как выяснится, здесь имеется непосредственная аналогия. Но задача представления достаточно широкого класса линейных преобразований значительно сложнее, чем соответствующая задача

для сигналов. Полное ее исследование выходит за рамки книги, и мы ограничимся сравнительно простыми вопросами, достаточными, однако, для дальнейших применений.