3.4. ОПЕРАТОР РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛА В АППАРАТУРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

Чтобы завершить процесс отыскания приближенного численного представления для произвольного сигнала конечной энергии, выберем некоторую систему базисных функций (и взаимный базис ), и установим эквивалентность

где

Рис. 3.6, Обобщенный анализатор спектра.

По аналогии с обычным преобразованием Фурье будем рассматривать (3.48) как пару преобразований. В (3.48 а) сигнал представлен определенной линейной комбинацией а формула (3.48 б) дает линейное правило для отыскания разложения сигнала на выбранные компоненты. Последнюю операцию можно рассматривать как обратную по отношению к разложению, и именно ее мы хотим реализовать с помощью соответствующих физических устройств» Используя метод реализации линейных функционалов, показанный на рис. 2.7, получаем устройство, которое является обобщением лабораторного прибора — анализатора спектра (рис. 3.6). Эту схему можно выполнить иначе, заменив ячейки «перемножитель — интегратор» на ячейки «квантователь — фильтр», что соответствует рис. 2.8.

Во многих случаях, генерируя в приборе «подходящие» колебания, не удается точно сформировать нужную систему функций Например, в некоторых системах обработки оптических сигналов

операция умножения выполняется путем освещения через материал с разной степенью прозрачности.

В таких условиях желательно, чтобы функции, на которые умножается сигнал, были неотрицательными, в частности может использоваться система вещественных экспоненциальных функций. В качестве другого примера приведем случай, когда «эталонные» функции должны быть порогового типа («да» — «нет»), чтобы умножение могло производиться с помощью соответствующего ключа. Может случиться, что у проектировщика системы обработки нет никакого выбора и нужно использовать заданные функции. Это приводит к следующей задаче. Имеется набор устройств, реализующих линейные функционалы Как наилучшим образом использовать эти устройства, чтобы получить произвольный функционал Для ответа на этот вопрос воспользуемся обсуждавшимся в § 2.6 соответствием между сигналами и линейными функционалами.

Задача состоит в том, чтобы найти наилучшее (в смысле минимума расстояния в сопряженном пространстве) приближение искомого функционала путем ортогонального проектирования подпространство из натянутое на

Приближение линейной комбинацией реализуется системой параллельных цепей, рассмотренных в § 2.6; на выходе каждой из цепей имеется звено, регулирующее коэффициент усиления, как показано на рис. 3.7. Коэффициенты усиления устанавливаются так, чтобы минимизировать они определяются через скалярные произведения в сопряженном пространстве, согласно (2.61).

Применяя ортогональное проектирование, имеем

где

При этом есть взаимный базис в подпространстве натянутом на Нетрудно показать, что такая аппроксимация для в точности соответствует минимуму расстояния до 0, получаемому при проектировании на Учитывая соответствие норм, имеем для любого сигнала х единичной энергии из

Можно сказать также, что есть наибольшая ошибка отображения в процентах по отношению к Отсюда прямо вытекает схема реализации представления сигнала с помощью имеющихся конкретных устройств. Мы хотим представить сигнал х точкой в пространстве , натянутом на можем же мы вычислять только

скалярные произведения где есть базис

В соответствии с (3.49) устройство, в котором реализуется точная верхняя грань ошибки определения компонент, должно давать

где

Рис 3.7. Аппроксимация в сопряженном пространстве; реализация

0) с помощью заданной системы функционалов.

Анализатор формы сигнала должен содержать, таким образом, звенья, реализующие заданные линейные функционалы, и блок взвешенного суммирования, описываемый матрицей А с элементами из (3.51). Такая схема показана на рис. 3.8.

Рис. 3.9 условно иллюстрирует приближение желаемого представления. Вначале находится ортогональная проекция х на представимая -мерным вектором а затем полученная в точка ортогонально проектируется на Получается представление аппроксимирующее желаемое представление х, которое получилось бы при прямом ортогональном проектировании х на Приближенное представление получается при умножении матрицы А на вектор — представление по отношению к базису

Разумеется, если есть подмножество из обе проекции совпадают, и полученный анализатор в точности соответствует желаемому. Если совпадают, то матрица А неособенная, и предыдущие соотношения просто указывают на замену базиса в М (упражнение 2.16),

Пример 33. Проиллюстрируем изложенное на примере, с которым часто имеют дело в теории сигналов. Пусть х — сигнал, ограниченный по длительности в интервале и имеется переключатель, с помощью которого снимаются значения сигнала в отдельных моментов времени на указанном интервале (рис, 3.10).

Рис. 3.8. Модификация заданного анализатора для получения желаемого разложения сигнала»

Предположим также, что мы хотим измерить коэффициенты разложения сигнала с периодом Т в ряд Фурье. Следовательно,

есть искомое разложение.

Базисные функции имеют вид

Полагая, что ползунок переключателя касается в каждый данный момент только одного полюса, и что время между касаниями равно нулю, примем в качестве базисной ортогональную систему прямоугольных функций

где

Отсюда следует, что взаимный по отношению к базис есть

Приближенное преобразование выборочных значений в коэффициенты Фурье осуществляется с помощью матрицы А, соответствующей (3.51):

где

Рис. 3.9, Иллюстрация приближенного представления сигнала с помощью заданного анализатора.

Поскольку комплексные весовые коэффициенты физически не реализуемы, мы вместо них определяем действительную и мнимую части отдельно: Этому соответствует представление (в случае вещественных сигналов) тригонометрическим рядом:

Тем не менее удобнее рассуждать, пользуясь комплексной формой ряда Фурье, поскольку вывод соотношения (3.58) в этом случае

значительно проще. Измерение коэффициентов ряда (3.59) производится с помощью схем весового суммирования, соответствующих матрицам В и размером Эти матрицы получены из действительной и мнимой частей матрицы А:

где

Рис. 3.10. Анализатор гармоник.

Упражнение 3.6. Реализуя гармонический анализ, как описано в примере 3.3, мы, естественно, интересуемся точностью, с которой отдельные коэффициенты Фурье могут быть найдены при идеальных переключателе, интеграторе и весовом сумматоре. Рассмотрев все сигналы единичной энергии из показать, что верхняя грань ошибки в определении коэффициента Фурье составляет

Указание:

Предположить, что для нужно обеспечить:

каково должно быть Как изменятся результаты, если при том же количестве контактов и скорости вращения переключателя время его нахождения на каждом контакте уменьшить вдвое?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)