3.2. ПОЛНЫЕ ОРТОНОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

В предыдущем параграфе мы применили теорему проектирования для нахождения наилучшего представления произвольного сигнала в конечномерном подпространстве но мы обошли вопрос о том, как выбрать подходящее подпространство. Ясно, что для любого заданного подпространства более обширное подпространство из не представляется вполне адекватно: это следует из существования векторов, ортогональных к Задача нахождения оптимального подпространства имеет смысл только по отношению к некоторому ограниченному (обычно компактному) исходному подпространству из . Такого рода задача рассматривается в гл. 6. В настоящем параграфе мы рассмотрим более простой вопрос о сходимости представления, полагая, что число измерений подпространства можно произвольно увеличивать, и приведем ряд примеров, демонстрирующих часто применяемые методы нахождения систем базисных функций, безотносительно к оптимальности или неоптимальности натянутых на них подпространств.

Во многих курсах функционального анализа [2, 3] доказывается, что есть полное сепарабельное пространство. Из этого свойства следует, что ортогональным проектированием можно получить сколь угодно близкую аппроксимацию для любого если выбрать достаточно большим

В (3.20) функции взяты из бесконечного счетного множества ортонормальных функций, удовлетворяющих некоторым условиям.

Заметим вначале, что из (3.12) следует при

Поэтому, при любом

Соотношение (3-21) известно как неравенство Бесселя, оно показывает, что сумма квадратов коэффициентов разложения ограничена для любого . Из неравенства (3-21) видно также, что в (3.20) есть последовательность Коши, так как для любого при достаточно большом имеем

и, поскольку — полное пространство, последовательность сходится к некоторой точке в Последовательность сходится к х, если есть полная ортонормальная система Ортонормальная система называется полной, если не существует дополнительных, отличных от нуля ортогональных векторов, которые можно было бы прибавить к этой системе. Благодаря сепарабельности I? (7) полная ортонормальная система является счетной. Очевидно, полная ортонормальная система является для аналогом базиса в конечномерном пространстве. Произвольная бесконечная ортонормальная система не обязательно полна; например, использованная в (1.34) для разложения во временной ряд система функций

является ортонормальной, но не полной в поскольку функции с полосой больше не принадлежат подпространству, натянутому на эту систему. Заметим, что не следует смешивать понятия полноты ортонормальной системы и полноты метрического пространства.

Для полной ортонормальной системы неравенство Бесселя (3,21) переходит в равенство

которое известно так же, как условие полноты. На основании сказанного выше можно утверждать, что для любого и любого имеется такое что

Иными словами, если мы используем для представления произвольного сигнала подпространство натянутое на первые элементов полной ортонормальной системы, то норма погрешности может быть сделана сколь угодно малой путем выбора достаточно большого Правда, зависит от х, так что нельзя лимитировать ошибку равномерно для всех х. Однако с практической точки зрения это приближение имеет ряд преимуществ, обусловивших широкое его применение. Во-первых, существует много полных ортон мал ьных систем, которые хорошо известны и приведены в справочниках. Во-вторых, ряд преимуществ дает применение ортонормального базиса в Главное из них состоит в том, что скалярные произьедения в и в О совпадают [см. (2.49)]. В-третьих, если известна проекция х на то для определения проекции х на нет необходимости проводить вычисления заново, достаточно определить лишь это свойство является следствием того, что ортонорма ьный базис является самосопряженным, т. е. совпадает с взаимным. В результате, значительно экономится объем расчетов, если после оценки ошибки приходится принять решение об увеличении размерности пространства. Действительно, при ортонормальном базисе мы обычно рассматриваем ортогональную проекцию как совокупность частных проекций, каждая из которых производится на одномерное пространство, натянутое на базисный вектор, причем такая проекция непосредственно дает член разложения.

В рассматриваемых ниже примерах большинство базисов получено из систем достаточно простых функций с помощью процедуры Грама — Шмидта (2.50 а и б), применение которой в силу ее итеративного характера не ограничивается конечными системами. Продолжая обсуждение, начатое в предыдущем параграфе, легко дать геометрическую интерпретацию процедуры Грама — Шмидта. На каждом шаге должна быть увеличена размерность пространства, натянутого на ортонормальный базис. Выберем новую функцию, не лежащую в и вычтем ее проекцию на . В результате получается функция, ортогональная к и она после нормализации используется в качестве базисной функции в

Упражнение 3.4. Для экспоненциальных базисных функций, упорядоченных, как в примере 3.2, получить первые пять элементов ортонормального базиса с помощью процедуры Грама—Шмидта. Результаты могут быть проведены в [6, стр. 463].

Упражнение Пусть — полная ортонормальная система в Для любого х и любого у из проверить равенство Парсеваля

Это более общее соотношение, чем (3.23).

При определении базисных функций для представления сигнала часто используют понятие нормы с весом. При оценке погрешности представления бывает желательным обратить особое внимание на некоторый участок области определения функции. Тогда интеграл

где подходящая неотрицательная функция, определенная на Т, может быть лучшей мерой погрешности приближения, чем норма Такой подход приводит к новому определению нормы в Действительно, если вещественная положительная функция (за исключением, может быть, счетного множества точек на Т), то, как легко показать, интеграл

удовлетворяет условиям (2.28) для скалярного произведения. Можно также сказать, что система функций — ортонормальна с весом если Мы не сделали раньше такого обобщения определения скалярного произведения только потому, что оно приводит лишь к несложному видоизменению базисных функций

где — ортонормальны в обычном смысле, а — с весом