3.3. ПРИМЕРЫ ПОЛНЫХ ОРТОНОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

В этом параграфе приведен ряд употребительных ортонормальных систем для заданного интервала и заданной весовой функции Полнота и ортогональность этих систем доказываются во многих источниках [3—5].

Комплексные гармонические функции

Для комплексные гармонические функции ортогональны; следовательно, для получения ортонормальной системы необходимо только выполнить их нормализацию. Разложение

при

есть известное представление рядом Фурье функций ограниченной длительности на отрезке а также периодических с периодом, равным 2. Заметим, что это представление применимо для функций, заданных на любом конечном интервале, так как произвольный интервал можно отобразить в выбором подходящего масштаба по оси времени.

Полиномы Лежандра

Для можно получить другую ортонорма льную систему, применив процедуру Грама — Шмидта к последовательности . В результате получаются нормированные полиномы:

где — полиномы Лежандра, Эти полиномы можно также считать по формуле

или по рекуррентной формуле

Все нулей полинома вещественны и лежат внутри интервала . Упоминавшееся преобразование любого конечного интервала в применимо и здесь.

Полиномы Чебышева

Для полиномы

образуют ортонормальную систему. Здесь — полиномы Чебышева, задаваемые следующим образом:

Из (3.33) следует важное свойство: из всех полиномов степени, имеющих коэффициент при равный 1, полином Чебышева наименее уклоняется от нуля на интервале

Для удовлетворяют рекуррентной формуле

Функции Лагерра

Для и полиномы образуют ортонормальную систему.

Рис. 3.4. Формирование функций Лагерра и их линейных комбинаций.

Здесь — полиномы Лагерра, задаваемые формулой

Они имеют вещественных нулей на и удовлетворяют рекуррентному соотношению

Функции Лагерра

ортонормальны на с единичным весом, они могут также быть получены применением процедуры Грама — Шмидта к Функции Лагерра играют особую роль в применениях, поскольку они могут быть практически реализованы как импульсные реакции сравнительно простых физических цепей конечного порядка [6].

Можно показать, что функции

допускающие за счет вещественного положительного параметра удобное временное масштабирование, имеют преобразование Лапласа вида

Из этого выражения следует, что функция Лагерра есть импульсная реакция цепочки, один каскад которой имеет передаточную функцию других — как показано на рис. 3.4. Можно показать, что все последние каскады являются фазовращателями, не изменяющими энергию сигнала. Сняв сигналы с отводов цепочки в узлах и суммируя их с некоторыми весами, получаем «трансверсальный» фильтр, импульсная реакция которого есть произвольная линейная комбинация функций Лагерра. В [6] приведена схема, импульсные реакции которой реализуют другую ортонормальную систему.

Функции Лежандра

Подстановка преобразует интервал для величины х в интервал для величины поэтому из полиномов Лежандра можно получить еще одну систему функций, ортонормальных на ( — произвольный действительный положительный параметр). Функции Лежандра

образуют ортонормальную систему на с единичным весом. Преобразования Лапласа от этих функций имеют полюсы при

Функции Чебышева

Преобразованием из нолиномов Чебышева получаем функции Чебышева

которые ортонормальны с весом на Преобразования Лапласа от них имеют полюсы при

Теория ортонормальных на систем функций, задаваемых положением нулей и полюсов их преобразования Лапласа, рассмотрена более полно в [7] и [8].

Функции Эрмита

Для полиномы

образуют ортонормальную систему. — это полиномы Эрмита, которые задаются в виде

или рекуррентной формулой

Функции Эрмита

ортонормалъны с единичным весом на они могут также быть получены применением процедуры Грама — Шмидта к последовательности

Функции Уолша

Для можно построить полную ортонормальную систему функции типа «прямоугольных волн». Для определения таких функций удобно использовать два индекса. Функции называемые функциями Уолша [9—11], определяются следующим образом:

где

Эта система весьма важна для практики, поскольку функции кусочно-постоянны и принимают только два значения и —1). Подобные сигналы легко могут быть получены с помощью двоичных логических схем.

Рис. 3.5. Функции Уолша, пронумерованные в соответствии с количеством перемен знака на интервале

Перемножение таких сигналов для получения, скажем, скалярного произведения производится очень просто, с помощью ключа, изменяющего полярность и включаемого в нужные моменты времени. Заметим, что функции соответствуют обычным прямоугольным волнам. Мы можем перейти к соответствующей одно-индексной системе, упорядочив функции (3.46) так, чтобы функция раз пересекала нулевой уровень на интервале раз меняла знак). Это достигается при следующих обозначениях:

причем (рис. 3.5).