5.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Если область определения линейного преобразования есть конечномерное пространство, в котором определено скалярное произведение, то имеются простые и естественные пути для получения представлений линейных преобразований. Эти пути приводят к различным представлениям, каждое из которых имеет те или другие преимущества. Мы будем иметь дело с конечномерными подпространствами функционального пространства , в которых скалярное произведение определено согласно (3.3).

Преобразования на конечномерных подпространствах рассматриваются, главным образом» потому, что результаты такого рассмотрения можно обобщить применительно к более важным случаям, например полному пространству .

Представление с помощью вектор-откликов

Положим сначала, что пространство входов натянуто на линейно независимый базис для которого сопряженный базис есть Пусть пространство выходов есть -мерное пространство, включающее область значений преобразования Такое пространство всегда можно найти, так как число измерений области значений не может превосходить размерность исходной области определения. Тогда для произвольного из (3.2) и (3.7) имеем

Следовательно, учитывая линейность

где множество

содержит отклики на все базисные функции пространства как на входные сигналы для X.

Ясно, что отображение любой точки пространства есть линейная комбинация с тем же -мерным набором коэффициентов что и в представлении Таким образом, мы можем рассматривать как представление для по отношению к базису в . В отличие от сигнала, который представляется -мерной вектор-строкой, линейное преобразование представляется упорядоченной последовательностью векторов в относящихся к конкретному базису в .

Хотелось бы рассматривать как базис пространства выходов Но этого нельзя утверждать, поскольку нет уверенности, что множество векторов линейно независимо. Если это так, то (по определению линейной независимости) существует некоторый отличный от нуля входной сигнал х, который отображается в нуль в Если же существует хотя бы один такой сигналг то должно существовать целое подпространство, отображаемое в нуль. Это подпространство называется нуль-пространством линейного преобразования. Ввиду того, что преобразование получается типа много в одно, обратного отображения не существует, и линейное преобразование является сингулярным. Для сингулярного преобразования размерность пространства выходов меньше поскольку линейно зависимы, и не натянуто на них. Действительно, легко показать, что сумма числа измерений пространства выходов и числа измерений нуль-пространства равна Число измерений пространства выходов называется рангом линейного преобразования.

Представление последовательностью линейных функционалов

Другой способ состоит в представлении упорядоченной последовательностью векторов в . Для этого, положим, что есть множество линейно независимых векторов, на которые натянуто И пусть — соответствующий сопряженный базис. Тогда любой вектор из можно представить в виде

Подставляя (5.14) в (5.15), получаем

где

Следовательно, упорядоченная последовательность представляет по отношению к выбранному базису в нуль-пространством является просто подпространство векторов из которые ортогональны ко всем Если линейно независимы, то ранг преобразования равен Можно трактовать этот способ представления как упорядоченную последовательность линейных функционалов (преобразований единичного ранга) вида , с помощью которых преобразование выражается следующим образом:

Матричное представление

Поскольку векторы в первом методе или векторы во втором можно представить -мерным набором коэффициентов (вектор-строкой), линейное преобразование может быть представлено таблицей из скаляров — матрицей. Для получения такого представления положим

где

Теперь, подставив (5.19) в (5.14), получим

и

или, в обычных матричных обозначениях,

где есть -мерные векторы, являющиеся представлениями х и у по базисам в и соответственно; — матрица размером с элементом строке и столбце, представляющая преобразование

Упражнение 5.1. Показать, что область значений и нуль-пространство есть линейные пространства. Если число измерений есть то показать, что сумма числа измерений области значений преобразования и нуль-пространства равна

Упражнение 5.2. Пусть матрица есть представление X согласно (5,22). Показать, что определитель равен нулю тогда и только тогда, когда имеет нуль-постранство, отличное от нуля.

Упражнение 5,3. Показать, что элементы матрицы в (5.22) можно выразить в форме — где определены согласно (5.17).

Упражнение 5.4, Рассмотрим два линейных преобразования: где -мерные линейные пространства; содержит область значений преобразования ту же область для

Выбрав произвольные базисы для и показать, что составное преобразование — представляется обычным произведением матриц где — матрицы, представляющие и соответственно.