6.7. ОБЛАСТЬ, ЗАНИМАЕМАЯ СИГНАЛОМ НА ПЛОСКОСТИ ВРЕМЯ-ЧАСТОТА

Эта задача, близкая к рассмотренным, заслуживает особого внимания. Она касается вопроса о том, насколько представления импульсного сигнала могут быть сосредоточены в узких областях повремени и по частоте одновременно. Имеется ряд систем передачи сигналов, оптимальное функционирование которых достигается при минимальной протяженности и минимальной полосе частот импульса. Узкая полоса сигнала увеличивает пропускную способность канала связи, а также уменьшает искажения при распространении сигнала через диспергирующую среду. С другой стороны, малая длительность импульсов улучшает разрешающую способность по времени. Поэтому в радиолокации с укорочением импульсов улучшается разрешение по

дальности, а в импульсных системах связи, укорачивая импульс, можно повысить скорость передачи информации за счет увеличения частоты повторения при неизменной различимости отдельных сигналов [5, 6]. Аналогичная проблема возникает при проектировании антенн, когда желательно получить узкий луч от антенны малого размера [7].

Обобщенный принцип неопределенности

По аналогии с квантовой механикой соотношения, выражающие принципиальное ограничение на достижимую степень концентрации по времени и по частоте одновременно, называют принципом неопределенности.

Этот вопрос рассматривали многие авторы, используя, по большей части, какой-либо конкретный энергетический функционал для оценки степени концентрации в каждой из областей. Мы сформулируем ниже задачу о неопределенности в обобщенном виде, вводя такие способы измерения концентрации по времени или по частоте, при которых можно использовать произвольные весовые функции в каждой области. Для нормализации положим, что полная энергия сигнала равна единице.

Решение задачи включает ответы на два вопроса. Мы определим предельно достижимую степень концентрации для каждой заданной пары весовых функций, а также укажем сигнал, реализующий максимальную концентрацию.

Вариационная задача состоит в нахождении экстремума функционала

в котором

а есть упомянутые весовые функции для временной и частотной областей; — множители Лагранжа. Нужны только два неопределенных множителя, и они могут быть отнесены к любым двум квадратичным функционалам из трех. Поскольку каждый квадратичный функционал соответствует самосопряженному оператору, используя табл. 6,1, можно представить необходимое условие стационарной точки (6,94) либо во временной области

либо в частотной

Следовательно, необходимое условие выражается в обеих областях в форме однородного интегрального уравнения Фредгольма. Если

весовые функции различны по форме, решение может оказаться проще в одной области, чем в другой. Если же весовые функции одинаковы, то оптимальный сигнал и его преобразование Фурье будут удовлетворять одному и тому же уравнению. Заметим также, что при различных весовых функциях, если решена одна задача неопределенности, мы легко получим решение и другой задачи, применяя частотно-временную дуальность к (6.95) и (6.96).

Вводный пример из § 6.1, очевидно, является задачей неопределенности с весовыми функциями . Вместо того, чтобы минимизировать произведение и мы могли бы ограничить один из функционалов или некоторой константой, и минимизировать второй (сохраняя ).

Поскольку

необходимое условие (6,95) принимает вид

Приведя его к виду

получаем дифференциальное уравнение второго порядка, известное как волновое уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с параболической потенциальной ямой; его решение хорошо известно. Можно показать [17], что для граничных условий коэффициенты в (6.98) должны удовлетворять условию

а соответствующие ортонормированные решения есть

здесь — полиномы Эрмита; — нормированные функции Эрмита (3.45). Кратность стационарных точек, типичная для однородных необходимых условий, видна из (6.100). Абсолютный минимум произведения длительности на ширину полосы легко находится подстановкой (6.100) в (6.4); в результате имеем

следовательно, т. е. гауссов импульс глобально оптимален. Это соответствует (6.8).

Другим примером может служить задача из примера 6.2, которая представляет собой разновидность проблемы неопределенности при условиях: — прямоугольная весовая функция,

задаваемая согласно (6.52), а соответствует (6.35). Установление принципа неопределенности для этого случая состоит в нахождении наибольшего собственного значения и соответствующей собственной функции из (6.56) для заданных . В частности, для однозвенного -фильтра минимальная величина которая обеспечивает заданную долю энергии проходящую на выход, находится из (6.61) и (6.62):

где

Рис. 6.7. Ограничение по полосе сигналов с ограниченной длительностью.

Более жесткий критерий концентрации в частотной области ввел Чок [3], рассматривая прямоугольную весовую функцию не только во временной, но также в частотной области, т. е. предполагая, что имеется идеальный фильтр низких частот с полосой как показано на рис. 6.7. Необходимое условие минимума при ограничении получается из (6.36) в виде

заметим, что левая часть (6.103) есть свертка сигнала ограниченной длительности и импульсной реакции идеального фильтра. Такой результат получился из-за особого свойства данной весовой функции:

Мы видим, что ограниченные по времени (финитные) функции, удовлетворяющие (6.103), обладают весьма любопытным свойством: если пропустить такую функцию через идеальный фильтр с ограниченной полосой (превратив таким образом в финитную в частотной области), то на интервале сигнал на выходе фильтра совпадает по форме с входным сигналом

Заметим, что в этом случае выходная энергия имеет значение

Следовательно, X — это та доля энергии сигнала которая

приходится на полосу Сказанное означает, что все собственныё значения (6.103) меньше единицы, и что максимум энергии на выходе равен максимальному собственному значению

Интересно рассмотреть задачу, дуальную по отношению к предыдущей, т. е. максимизировать условии Другими словами, мы хотим найти сигнал с ограниченной полосой, равной максимальная часть полной энергии которого содержится в интервале времени Ограничение можно учесть прямым способом взяв свертку общего необходимого условия (6.95) с для нашего случая это дает

Поскольку — прямоугольная функция, это выражение упрощается:

Рис. 6.8. Наибольшее собственное значение уравнения (6.107).

Мы получили тоже интегральное уравнение (6.103), но теперь оно справедливо для всех Таким образом, если — импульс с ограниченной полосой, оптимальный для данной задачи, то есть оптимальная форма сигнала, ограниченного по длительности для дуальной задачи. Не следует поэтому удивляться, что и в более общих случаях, когда обе весовые функции прямоугольные, но значения произвольны, оптимальные сигналы тоже есть решения уравнения (6.107). В статьях Слепяна, Поллака и Ландау показано, что решениями уравнения (6.107) являются сфероидальные волновые функции, и они дают важную зависимость между предельно достижимыми значениями и параметром Ниже приводятся основные результаты этих работ.

Для любого значения существует счетное множество вещественных собственных функций , которым соответствуют положительные собственные значения

причем их порядок сохраняется при всех с.

2. образуют ортонормированную систему функций с ограниченной полосой, заданных на интервале полную в подпространстве функций с ограниченной полосой из

Рис. 6.9, Графики

3. В интервале функции тоже ортогональны и образуют систему, полную в

Теперь мы имеем решение частной задачи неопределенности: среди всех функций заданной ограниченной длительности функция содержит наибольшую часть своей энергии внутри полосы часть равна На рис. 6.8 показана зависимость от с и дано сравнение степени концентрации энергии в заданной полосе для оптимального сигнала и прямоугольного импульса с длительностью

Среди всех функций, ограниченных по полосе функция содержит наибольшую часть своей энергии в интервале времени . Эта часть равна Рис. 6.8 дает также сравнение степени концентрации во временной области для оптимального сигнала и для импульса формы Некоторое представление о форме оптимальных сигналов можно получить из рис. 69, где приведены графики для положительных значений — четная функция) при различных значениях с.

Наконец, решение общей задачи неопределенности для прямоугольных весовых функций, когда оптимальный сигнал не ограничен

ни по длительности, ни по полосе имеет вид

где

Этот результат дает удобную формулировку принципа неопределенности, он указывает максимальное достижимое значение функционалов или когда второй функционал имеет заданное значение. Соотношение между ними имеет вид

причем равенство достигается только в случае, когда сигнал удовлетворяет уравнению (6.311), Кривые, соответствующие (6.112), для некоторых значений показаны на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Предельно достижимая концентрация энергии во временной и частичной областях.

Линия отражает тот факт, что если сумма энергий, содержащихся в частотном и временном интервалах, меньше полной энергии сигнала, то ограничений на величины этих интервалов не существует. Только если сумма больше единицы, имеется нижняя грань для произведения