10.5. ДВОИЧНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В ОКРАШЕННОМ ГАУССОВОМ ШУМЕ

При обобщении задачи обнаружения на случай, когда спектральная плотность шума не равномерна (окрашенный шум), мы сразу же сталкиваемся с трудностью, что в принятом сигнале компоненты, ортогональные к и совпадающие с коррелированы. В случае белого шума компоненты некоррелированы при любом ортогональном базисе, и мы могли принять нормированный вектор за один из базисных векторов. Но согласно § 7.5 существует частная ортонормированная система, при которой обеспечивается некоррелированность компонент разложения произвольного процесса с нулевым средним. Эта система представляет собой базис разложения Карунена — Лоэва, причем базисные функции есть собственные функции интегрального оператора с ядром, соответствующим автоковариационной функции процесса, т. е.

Из (7.51) для имеем

Таким образом, компоненты некоррелированы, а дисперсия и есть Используя этот базис, мы можем построить приемник максимального правдоподобия тем же способом, что в предыдущем параграфе. Заметим, что стационарности шума не требуется. Совместная плотность вероятности компонент дается выражением (10.40), где Следовательно, функции правдоподобия принятого сигнала, спроектированного на -мерное подпространство имеют вид

где -мерные векторы принятого сигнала, аналогичные (10.28). Отношение правдоподобия определяется в виде

Поскольку показательная функция монотонна, решение по величине к эквивалентно сравнению показателя экспоненты с порогом

при этом решающее правило имеет вид:

или, что эквйвалентно:

Принять если

-мерное пространство делится на области решений гиперплоскостью, определяемой уравнением

Поскольку задаются уравнением (10.59), то при достаточно больших сумма (10.64) может быть представлена как , где — решение интегрального уравнения Фредгольма I рода [81:

Теперь решающее правило принимает одномерную форму, зависящую только от величины проекции сигнала на направление

где

Решение уравнения (10.65) представляет некоторую трудность, поскольку решение может не существовать, если или не имеют некоторой сингулярности, или, если интервал Т не бесконечен. Один из практических путей решения связан с предположением, что можно разложить по собственным функциям. Тогда аппроксимируется линейной комбинацией тех же собственных функций с коэффициентами

При другом способе [5] предполагают, что имеется также «белая часть» шума, так что ядро становится сингулярным

где есть автоковариация процесса с конечной дисперсией. В этом случае (10.65) превращается в уравнение Фредгольмд. II рода [81:

решение которого всегда существует. Наконец, еще одна возможность, которой не следует пренебрегать, если передаваемые сигналы можно как-то варьировать, состоит в том, что сначала выбирается характеристика приемника , а затем определяется согласно (10.65).

Как только определена, приемник можно реализовать в виде схем, показанных на рис. 10.6 или 10.7 с заменой на Интересна аналогия с предыдущими результатами для случаев, когда шум стационарный, а интервал наблюдения достаточно большой. Тогда мы записываем в (10.65) автоковариационную функцию в виде и без большой погрешности заменяем конечный интервал интегрирования на Затем, взяв преобразование Фурье, получаем

При реализации в виде фильтра и отсчетного устройства передаточная функция фильтра имеет вид

Фильтр согласован с сигналом в шуме со спектральной плотностью (см. § 9.4).

Характеристика приемника

Разложение Карунена — Лоэва было очень полезно для выявления структуры приемника по отношению правдоподобие, но расчет характеристик приемника на этой основе выполнить сложно, так как трудно указать пределы интегрирования в (10.12) и (10.13). Однако можно найти такое одномерное подпространство, что компоненты принятого сигнала; вне его можно не учитывать. Т. е., как и при белом шуме, задача обнаружения становится одномерной [6]. По аналогии со случаем белого шума хотелось бы сразу предположить, что подпространство натянуто на Но методологически более оправдано считать, как мы уже делали, что -одномерное подпространство, натянутое на

В случае окрашенного шума рассмотрим не только ортогональную проекцию, но и другие проекции у на . Пусть есть подпространство всех векторов, ортогональных Тогда полное пространство может быть представлено как прямая сумма и т. е. любой сигнал может быть выражен (неоднозначно) как сумма сигнала из и сигнала из (см. упражнение 3.2):

Проекции передаваемых сигналов на S определяются в виде

что показано на рис. 10.11.

Рис. 10.11. Пространственное представление критерия отношения правдоподобия при обнаружении в окрашенном шуме. Заметим, что не ортогонально к

Соответствующая порогу гиперплоскость нормальная к пересекает в точке

Компоненты шума в некоррелированы (следовательно, статистически независимы) с соответствующими компонентами из (см. упражнение 10.3). Дисперсия компонент шума имеет значение

Функции правдоподобия для даются формулами

Наконец, характеристики приемника определяются согласно (10.12) и (10.13):

где с учетом (10.66) и упражнения 10.4

Аналогично

где

и, по определению,

Из этих соотношений видно, что характеристики приемника точно такие же, как при белом шуме, но отношение сигнал/шум определяется как , а не

В случае белого шума характеристики приемника зависят не от формы сигнала, а лишь от энергии в интервале Для окрашенного шума характеристики зависят от формы сигналов; не переходя к конкретным примерам, можно наглядно продемонстрировать это в общем случае, если выбрать совпадающим с одной из собственных функций уравнения (10.59). Если то согласно

. В этом случае и проекция на являются ортогональной проекцией (рис. 10.11). Отношение сигнал/шум есть просто

Ясно, что характеристики приемника лучше, если есть собственная функция, соответствующая малому собственному значению. Это и понятно — лучше те сигналы, которые в наименьшей степени совпадают с аддитивным шумом.

Упражнение 10.3. Пусть для шума с автоковариацнонной функцией проекция и на вдоль а есть проекция и на вдоль как изображено на рис, 10.11. Показать, что

Упражнение 10.4. Вывести выражения (10.76) и (10.77).

Указание. Показать, что

Упражнение 10.5. Пусть сигналы такие, что равновероятны и представляют собой прямоугольные импульсы единичной энергии в низкочастотном гауссовом шуме со спектральной плотностью Найти реализацию приемника максимального правдоподобия для предельного случая, когда длительность импульса существенно меньше, чем величина, обратная полосе шума. Получить для этого случая характеристики ошибок.