9.6. УСЛОВИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ

При практической реализации рассмотренных нами оптимальных фильтров приходится учитывать различные ограничения, которые не были сформулированы в качестве предварительных условий в задаче оптимизации. Эти ограничения приводят к изменению характеристик системы и уменьшают ожидаемый выигрыш. Такие условия, как, например, допустимая сложность или влияние неизбежных паразитных связей, не являются принципиальными для проблемы филь трации. Они могут быть преодолены ценой увеличения затрат и некоторых конструкторских решений,

В отличие от этого, требование неопережающего отклика принципиально необходимо для физической реализации фильтра. В этом параграфе рассматривается физическая реализуемость в указанном смысле. Условие такой реализуемости можно сформулировать в виде ограничения на импульсную характеристику Необходимо и достаточно, чтобы обращалась в нуль для всех Как и ограничение на длительность, встретившееся нам в задаче оптимизации сигнала (см. гл. 6), условие физической реализуемости фильтра обычно легче учесть прямым методом, а не с помощью множителя Лагранжа. Поэтому мы вводим дополнительное условие

где

Тогда в сформулированной в § 9.2 задаче о минимуме среднего квадрата ошибки изменяется функционал Мы получаем вместо (9.3)

Вычислив градиент функционала по переменной и приравняв его нулю, придем к необходимому условию минимума

Учитывая значение (9.118) для перепишем (9.120) в виде

Это уравнение удается решить только в некоторых частных случаях. Если процессы совместно стационарны, так что можно представить соответственно в виде и

то превращается в уравнение Винера — Хопфа, достаточно хорошо исследованное, В этом случае

или, изменяя обозначения,

Методы решения уравнения Винера — Хопфа, особенно для случаев, когда — рациональные функции от имеются во многих работах по теории систем связи и систем управления [11 — 15]. Мы рассмотрим метод, предложенный Боде и Шенноном [16, 17], который не только снимает ограничения на рациональность функций, но дает физически прозрачную картину работы оптимального фильтра. Сначала заметим, что если принимаемый сигнал есть белый шум с единичной дисперсией, так что то имеет особенно простое решение:

или, что то же,

Следовательно, в этом частном случае оптимальный реализуемый фильтр имеет импульсную характеристику, такую же как без учета условия реализуемости, но усеченную при . Простое решение уравнения (9.122), предложенное Боде и Шенноном, основано на том, что в большинстве практически важных задач сигнал можно предварительно пропустить через физически реализуемый отбеливающий фильтр с постоянными параметрами, т. е. такой, что корреляция на его выходе будет соответствовать белому шуму единичной дисперсии. Тогда остается лишь включить последовательно с отбеливающим физически реализуемый фильтр, соответствующий рассмотренному случаю, как это показано на рис. 9.16.

В соответствии с оптимальный фильтр, воздействующий на сигнал имеет импульсную характеристику

Удобно обозначить через преобразование Фурье от функции т. е. от усеченной (произвольной) функции . Тогда можно записать

Функцию передачи отбеливающего фильтра обычно находят с помощью спектральной факторизации Если можно

представить произведением вида

причем имеет подходящую фазу, такую, что физически! реализуема, то характеристика всего оптимального фильтра получает представление

Факторизация всегда возможна, если - рациональна® функция.

Рис. 9.16. Физически реализуемый оптимальный фильтр

В более общем случае факторизация возможна, если может быть представлена как сумма -функций и их четных производных и квадратично интегрируемого дополнительного слагаемого которое должно удовлетворять условию Винера — Палея [18]

Минимальный средний квадрат ошибки, достигаемый при оптимальном фильтре, можно вычислить, записав в виде

где есть часть импульсной реакции, отбрасываемая в силу условия физической реализуемости. Выразив величину ошибки (9.3) через соответствующие спектральные функций

и, учтя соотношения

для минимального среднего квадрата ошибки получим

Сравнение с (9.12) показывает, что условие физической реализуемости приводит к дополнительной ошибке

Таким образом, ухудшение качества легко подсчитать через ту часть импульсной реакции , которая отсекается в силу условия физической реализуемости.

Пример 9.8. Случайный фототелеграфный сигнал в белом шуме. В качестве иллюстрации рассмотрим задачу о непрерывной оценке формы сигнала, задержанного на время Т, т. е.

Пусть сигнал представляет собой случайный фототелеграфный процесс единичной дисперсии без постоянной составляющей, причем такой сигнал сопровождается аддитивным белым шумом со спектральной плотностью Тогда

где

Реализуемый отбеливающий фильтр определяется выражением

находится согласовано (9.125):

Передаточную функцию можно разложить на простейшие дроби; согласно (9.135)

Поскольку есть преобразование Фурье от — преобразование Фурье от импульсная реакция имеет вид

Эта импульсная реакция показана на рис. 9.17.

Рис. 9.17. Импульсная характеристика оптимального реализуемого фильтра.

При нулевой задержке в (9.136) остается только второй член, и получаемый фильтр

представляет собой интегрирующее RC-звено с ослаблением 3 дб на частоте Но при ненулевой задержке реализация оптимального фильтра не столь проста; для удовлетворительного приближения к оптимальной характеристике может потребоваться несколько С-звеньев.

Чтобы подсчитать средний квадрат ошибки для реализуемого оптимального фильтра, мы в соответствии с (9.131) определим ошибку для фильтра без ограничения, иногда называемую неустранимой ошибкой [2], и добавим к ней квадрат нормы отсекаемой части

Из (9.137) ясно, что при

Поэтому

Окончательно,

где

Рис. 9.18. Зависимость эффективности реализуемого фильтра от задержки (для единичной дисперсии сигнала).

Ясно, что эффективность фильтра с бесконечной задержкой такая же, как оптимального, без учета реализуемости. Если шум мал (большие а), фильтр с нулевой задержкой на 3 дб хуже, чем с бесконечной, но уже при небольших задержках эффективность фильтра приближается к оптимуму.

При большом шуме (а близко к единице) различие между фильтром с нулевой задержкой и оптимальным уменьшается, но только при сравнительно больших задержках эффективность фильтра приближается к оптимуму. Соответствующие характеристики показаны на рис. 9.15.

Подобное поведение характеристик характерно для многих случаев фильтрации, поскольку при большой задержке усечение несущественно искажает отклик фильтра. Поэтому часто достаточно ограничиться рассмотрением более простой задачи, не налагая условия физической реализуемости, и внести сравнительно небольшую добавочную задержку, не влияющую на остальные параметры системы. Например, во многих каналах связи время задержки, необходимое для приближения к оптимальному фильтру, весьма мало по сравнению со временем прохождения сигнала через канал. Часто используемое в этом случае приближение к оптимальному фильтру заключается в том,

что сначала конструируют физически реализуемый фильтр, аппроксимирующий оптимальную амплитудно-частотную характеристику, а затем последовательно с этим фильтром включают фазосдвигающие зренья, выбранные так, чтобы аппроксимировать разность между требуемой фазой и фазой, вносимой амплитудным фильтром, за вычетом некоторой линейной фазовой компоненты — постоянной задержки. Но в системах с обратной связью бывает важно ограничить время задержки при фильтрации, и тогда условие физической реализуемости следует вносить в качестве ограничения в задаче оптимизации.

Физически реализуемый фильтр с ограниченным усилением

Метод отбеливающего фильтра удобно использовать также во многих задачах с дополнительными ограничениями. Рассмотрим, например, ограничение на площадь усиления, обсуждавшееся в § 9,1. Полагая процессы и о совместно стационарными, будем согласно (9.3) минимизировать ошибку при условиях

Вводя условие (9.141 а) непосредственно, а условие (9.141 б) с помощью множителя Лагранжа, получаем уравнение для точки стационарности функционала

Это уравнение можно решить, применив показанный на рис. 9.19 «псевдоотбеливающий» фильтр с функцией передачи

Рис. 9.19, Оптимальный физически реализуемый фильтр с ограниченным усилением.

Тогда задача сводится к отысканию импульсной реакции мини мизирующей ошибку причем

Условие стационарности функционала относительно имеет вид

Так как в соответствии с (9.143)

то и решение уравнения (9.145) есть просто

Функция передачи всего оптимального фильтра имеет выражение

где и выбирается с помощью спектральной факторизации (9.126), Взяв , достаточно большим, можно удовлетворить произвольно жесткому ограничению на площадь усиления, т. е. реализовать фильтр с произвольно малым значением Чтобы показать это, заметим, что

Следовательно, если ограничено, то и ограничено величиной, которая может быть сделана произвольно малой, при достаточно большом к.

Физически реализуемый согласованный фильтр

В качестве еще одной иллюстрации метода отбеливающего фильтра рассмотрим снова задачу согласованной фильтрации, но теперь с учетом условия физической реализуемости. В этой задаче принимаемый сигнал не является стационарным случайным процессом, поскольку

он имеет детерминированную форму со случайным масштабным множителем а, которому и нужно дать оценку в виде напряжения на выходе фильтра с постоянными параметрами в момент

При учете условия физической реализуемости необходимое условие для изменяется:

Сначала рассмотрим случай, когда аддитивный шум и — белый, так что Тогда решение уравнения (9.149) имеет вид

Рис. 9.20. Физически реализуемый согласованный фильтр.

Или, изменяя обозначения,

Сравнение этого результата с (9.73) показывает, что в случае белого шума есть просто усеченная импульсная реакция оптимального фильтра, полученного без дополнительного ограничения. Более того, если достаточно велико, так что при то усечение не приводит к каким-либо изменениям характеристики фильтра. Говоря иначе, если имеется возможность наблюдать импульсный сигнал в течение всей его длительности, оптимальный фильтр физически реализуем.

Для шума с произвольной спектральной плотностью мы можем применить показанный на рис. 9.20 физически реализуемый фильтр, отбеливающий шум с характеристикой такой, что

Будем теиерь искать физически реализуемый фильтр минимизирующий функционал . Входной сигнал фильтра

Поэтому

Подобно (9.149), условие для определения имеет вид

Следовательно,

или

Выполнив спектральную факторизацию такую, что характеристика физически реализуема, получим окончательную передаточную функцию реализуемого согласованного фильтра

Фильтр с конечной памятью

Завершая вопросы реализуемости, упомянем ограничение на время памяти фильтра. Условие конечной памяти физически реализуемого фильтра состоит в том, что при , где Т — время памяти. Практически ограничение на время памяти важно в тех случаях, когда линейная оценка выполняется не фильтром с постоянными параметрами, а эквивалентным перемножителем-интегратором, причем входной сигнал умножается на опорный, и их произведение интегрируется для получения нужной оценки.

Ограничение на длительность опорного сигнала эквивалентно в этом случае ограничению на память фильтра. Аналогично, если фильтрация выполняется цифровыми методами, ограничение на объем запоминающего устройства эквивалентно ограничению на время памяти. Условие конечной памяти может быть исследовано точно тем же способом, что и условие физической реализуемости. В этом случае мы применяем дополнительное условие в виде

где

Средний квадрат ошибки определяется при таком ограничении из (9.119), но с заменой на а оптимальный фильтр должен удовлетворять уравнению

Способы решения уравнения Винера — Хопфа при незначительных изменениях применимы к уравнению (9.157). Ряд авторов [12, 13, 17, 19] приводят методы решения уравнений этого типа, в частности для стационарного в широком смысле лроцессз и рациональных

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)