5.7. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
Методы представления, которые мы рассматривали до сих пор, можно трактовать как обобщение конечномерного представления, описанного в § 5.3, использующего отображения базисных функций.
Теперь рассмотрим обобщение другого метода (5.16), где преобразование представляется некоторым множеством входных векторов 
Вначале мы определим подмножество векторов 
инвариантных относительно оператора 56 в том смысле, что без учета масштабных множителей они преобразуются сами в себя
Во многих случаях множество 
вместе с соответствующим множеством масштабных множителей полностью определяет оператор и это приводит к очень удобной форме представления. Чтобы показать, каким образом это достигается, мы снова рассмотрим второй метод § 5.3 для случая одинаковых входного и 
ходного пространств.
Положив в 
— получим
где
Теперь предположим, что базисные функции 
выбраны из 
Тогда (5.88) принимает вид
Подставляя (5.90) в (5.16), получаем отображение любого х в пространстве, натянутом на 
Из (5.91) мы видим, что преобразование сводится к простому покоординатному сжатию для каждой компоненты вектора х.
В этом параграфе мы покажем, что для сравнительно широкого класса операторов множество 
содержит достаточное количество линейно-независимых векторов, чтобы на них могло быть натянуто интересующее нас пространство, и преимущества представления (5.91) действительно могут быть реализованы. Мы увидим также, что в ряде случаев задача наилучшей аппроксимации опера тора становится аналогичной нанлучшей аппроксимации сигнала с помощью ортогональных проекций.
