10. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ

10.1. ВВЕДЕНИЕ

В этой главе рассматривается другой тип обработки сигналов, для которой концепция пространства сигналов играет особенно большую роль. Теория обнаружения также рассматривает задачи оценки параметров, но иначе, чем в гл. 9. Там проблема оптимальной фильтрации формулировалась как задача минимизации среднего квадрата ошибки. Но во многих случаях, особенно когда параметры сигнала образуют конечное множество, критерий вероятности ошибки представляется значительно более важным для приложений.

Рассмотрим, например, систему передачи информации, использующую алфавит из символов [1, 2]. В такой системе передатчик вырабатывает один из возможных сигналов, образующих множество Предположим, что сигнал передается по каналу, вносящему случайные искажения за счет аддитивного белого шума и. По наблюдаемой отдельной реализации сигнала на выходе канала нужно принять решение о том, какой из сигналов присутствует с наибольшей вероятностью. Можно свести эту и подобные задачи обнаружения к оценке параметра, если представить сигнал в виде функции двух вещественных переменных . Так, в предыдущем примере при и принятому сигналу приемник может выработать оценку 0 истинного значения параметра Но, если статистические свойства шума известны, приемник может также вычислить апостериорных вероятностей [т. е. вероятностей при условии, что принят сигнал . Решение принимается в том случае, если

Такой приемник не только выбирает наиболее правдоподобное значение параметра, но позволяет оценить надежность своего решения, т. е. вычислить вероятность подмены правильного значения параметра любым из ошибочных значений. В данном случае мы могли бы получить те же результаты, используя менее строгий критерий среднего квадрата ошибки, т. е. минимизируя Действительно, нетрудно показать, что приемник минимизирует также средний квадрат ошибки [2]. Однако такой подход завуалировал бы другие возможности. В предыдущих задачах оптимальной фильтрации для минимизации среднего квадрата ошибки нам понадобились лишь некоторые статистические характеристики — среднее значение и корреляция сигнала и шума. За конструирование приемника, минимизирующего вероятность ошибки, а не средний квадрат, необходимо

заплатить более полным знанием статистических свойств сигнала и шума — нужно иметь представления случайных процессов через плотности вероятностей.

Во многих случаях требуется построить решающее правило с учетом известных априорных вероятностей излучаемого сигнала или согласовать это правило с известными (неравными) штрафами за различные виды ошибок. В этих случаях оптимальный приемник выбирает не наиболее вероятное значение параметра, но все равно решающее правило использует вычисленные апостериорные вероятности Обычные способы построения решающих правил рассматриваются в двух следующих параграфах. Для простоты, мы будем анализировать только двоичный случай, когда параметр сигнала принимает одно из двух возможных значений. Обобщение на большее число значений параметра несложно. В дальнейшем мы применим указанные правила к некоторым классическим задачам обнаружения сигналов и в случаях, когда сигналы наблюдаются на фоне аддитивного гауссова шума, получим легко объяснимые результаты. К счастью, эти весьма частные случаи имеют большое практическое значение, так как во многих физических системах помехи по своей природе аддитивны и гауссовы. Параграфы 10.2 и 10.3 содержат краткое изложение основных моментов из теории статистических решений и дают основу для последующих применений. Для дальнейшего углубления в теорию обнаружения можно рекомендовать работы [2] и [5].