9.4. ОЦЕНКА ИМПУЛЬСНЫХ АМПЛИТУД

В системах типа радиолокации или АИМ, кргда полезная информация имеется только в амплитуде импульсов, применять устройства, оптимальные в смысле непрерывной оценки фрмы сигнала, может казаться нецелесообразно. Действительно, такой путь приводит к квазиоптимальным решениям, поскольку строго оптимальным является устройство, минимизирующее средний квадрат ошибки оценки амплитуды.

В этом параграфе рассматривается фильтр, оптимальный в указанном смысле; на его выходе в момент формируется оценка амплитуды входного импульса с минимальной средне квадратической ошибкой. Задача иллюстируется на рис. 9.10 где оптимальный фильтр предполагается непараметрическим, т. е. с постоянными параметрами.

Рис. 9.10, Оценка амплитуды импульса.

Это допущение не снижает общности, поскольку представляет интерес отклик фильтра только в момент Структура выходного сигнала фильтра в другие моменты не имеет значения, так что нет необходимости рассматривать фильтр с переменными параметрами. Итак,

и условие оптимальности (9.4) для принимает вид

Хотя в данном случае входной процесс не стационарен, как это имело место в предыдущих задачах, в решении (9.65) все же удобно использовать частотные представления. Эквивалентное (9.65) условие в частотной записи можно получить, если воспользоваться подстановкой

и затем применить преобразование Фурье по переменной . Это дает

где обозначено

Согласованный фильтр

Рассмотрим классическую задачу оценки амплитуды импульса известной формы при известном времени прихода и при наличии аддитивного, стационарного в широком смысле шума с нулевым средним. Из рис. 9.10 видно, что

Вычислив корреляционные функции

и использовав (9.68), (9.69), найдем

Условие (9.67) для функции передачи оптимального фильтра принимает вид

Вводя неизвестный пока коэффициент пропорциональности а, получаем решение в виде

прячем подстановка (9.73) обратно в (9.72) дает

Мы получили согласованный фильтр для сигнала принимаемого в шуме со спектральной плотностью . Этот фильтр есть обобщение согласованного фильтра, полученного в примере 6,3. Там

мы нашли фильтр, максимизирующий выходной отклик в момент при входном сигнале единичной энергии. Можно/было предполагать, что такой фильтр окажется оптимальным для оценки амплитуды сигнала. Для белого шума это действительно так, но, как следует из (9.73), если спектр шума неравномерен по частоте, можно реализовать дополнительный выигрыш за счет большег усиления на тех частотах, где плотность шума мала. Реализация такой возможности для одного частного случая рассмотрена в следующем примере.

Рис. 9.11. Реализация согласованного фильтра для треугольного импульса в шуме с экспоненциальной автокорреляцией.

Пример 9.6. Треугольный импульс в шуме с экспоненциальной корреляционной функцией. Пусть — треугольный импульс, показанный на рис. 9.11, а аддитивный шум имеет спектральную плотность вида

Согласно (9.73) функция передачи согласованного фильтра имеет вид

Положив представив через экспоненциальные функции, можно получит

Отсюда непосредственно следует реализация фильтра, показанная на рис. 9.11. Согласно (9.8) получаемый средний квадрат ошибки оценки амплитуды имеет значение

Рис. 9.12. Сравнение оптимального и квазиоптимальиого согласованных фильтров для больших отношений сигнал/шум.

Для сравнения рассмотрим случай, когда для фильтрации этого сигнала используется фильтр, согласованный при белом шуме. Такой фильтр получается из рис. 9.11 удалением блока и подстановкой оптимального значения а. Если это проделать, средний квадрат ошибки (см. упражнение 9.9) принимает значение

Для сравнительно больших отношений сигнал/шум можно получить

Это отношение по казано на рис. 9.12 как функция параметр а с . Ясно, что выигрыш за счет строго оптимального согласованного фильтра ощутим лишь в случаях, когда полоса шума равна или меньше ширины полосы сигнала.

Упражнение 9.7. Выяснитть структуру согласованного фильтра (рис. 9.10) при дополнительном ограничении на площадь усиления

Упражнение 9.8. Показать, что фильтр (см. рис. 9.10), который максима эирует пик импульсного отклика при фиксированной мощности шума на выходе

имеет функцию передачи, пропорциональную функции передачи согласованного для этого случая фильтра. Согласованный фильтр чаще трактуют как максимизирующий пик сигнала по отношению к среднеквадратическому уровню шума, чем как оптимальный в смысле оценки амплитуд.

Упражнение 9.9. Показать, что если согласованный фильтр для импульса в белом шуме

используется с шумом иной плотности, то минимальный средний квадрат ошибки оценки амплитуды определяется выражением

причем для этого коэффициент усиления а выбирается наилучшим образом.

Согласованный фильтр для импульсов со случайными искажениями

Если форма принимаемых импульсов точно не известна, то согласованный фильтр будет, строго говоря, квазиоптимальиым. Будем рассматривать как реализацию некоторого случайного процесса и найдем фильтр, минимизирующий усредненный по реализациям средний квадрат ошибки оценки амплитуды. Можно свести эту задачу к фильтрации сигнала известной формы при наличии случайной дисперсионности канала т. е. к задаче, рассмотренной ранее в связи с оценкой формы сигнала. Получается та же задача, что на рис. но следует считать случайной. Итак:

Нужные корреляционные функции имеют вид

Применяя преобразование Фурье, с учетом (9.68) и (9.69), получаем

и условие (9.67) прииимает вид

Этому уравнению можно придать более удобную форму, если ввести новую неизвестную функцию

Тогда, подставив (9.85) в (9.84) и деля обе части на приходим к обычному интегральному уравнению Фредгольма второго рода

Ядро этого уравнения есть автокорреляционная функция случайного канала. Как и следовало ожидать, здесь необходима более полная информация о статистических свойствах канала, чем для оценки формы сигнала, когда требовалось знать лишь среднее значение и дисперсию. Получить решение уравнения (9.86) в общем случае затруднительно. Но в некоторых частных случаях, представляющих практический интерес, уравнение существенно упрощается [3]. Следующий пример иллюстрирует типичные результаты.

Пример 9.7. Согласованный фильтр для импульсов со случайным временем прихода. Часто форма импульса известна точно, но неизвестно его положение во времени. Чтобы исследовать фильтрацию импульсов при случайном времени прихода, будем считать, что — оператор задержки, причем время задержки х — случайная величина. Пусть имеет плотность распределения Тогда

где — преобразование Фурье от Подставляя эти выражения в (9.86), получаем

Точное решение (9.89) можно получить, предположив (что не слишком далеко от истины) пропорциональность Отношение этих величин

имеет смысл отношения сигнал Используя эту зависимость и применяя обратное преобразование Фурье к (9.89), приходим во временной области к простому решению задачи

откуда

Рис. 9.13. Согласованный фильтр для импульса со случайным временем прихода при различных отношениях сигнал/шум — отклик фильтра на импульс единичной амплитуды при

Физическая интерпретация этого результата становится ясной, если рассмотреть форму сигнала на выходе фильтра, а не его импульсную реакцию тогда из (9.85) мы имеем

где — выходной сигнал фильтра, если на вход его подан сигнал с единичной амплитудой, нулевой задержкой и без шума. Эти выходные сигналы даны на рис. 9.13 для показанной там же плотности вероятности времени задержки. Если отношение снгнал/шум мало, то оптимальная форма выходного импульса приближается к характеристике, получаемой зеркальным отображением плотности вероятности. Иными словами фильтр «выпячивает» сигнал в том временном интервале, где появление импульса наиболее вероятно. При большом отношении сигнал/шум, последний не оказывает заметного влияния и

тогда оптимальная форма выходного импульса приближается к прямоугольнику единичной амплитуды, что и уменьшает, очевидно, влияние нестабильности времени прихода.

Упражнение 9.10. Для импульса, прошедшего через случайный канал с постоянными параметрами, найти фильтр, максимизирующий пик выходного сигнала при дополнительном ограничении на выходную мощность шума, т. е. найти максимизирующую при условии, что

Дать трактовку решения через понятия, связанные с согласованной фильтрацией. Заметим, что эта задача одна из немногих, где несущественна величина дисперсии параметров канала.

Помехи за счет смежных импульсов

Несколько иная задача встречается в тех случаях, когда принимаются не одиночные импульсы, а последовательность импульсов одинаковой формы В этом случае оптимальный фкльтр должен устранить не только аддитивный шум но и помехи за счет «хвостов» импульсов предшествующих оцениваемому. Оптимальный фильтр, с одной стороны, должен быть широкополосным, чтобы получился короткий отклик и хорошее разрешение по времени, а с другой — узкрполосным, чтобы уменьшить влияние шума.

Конкретизируя задачу предположим, что мы хотим оценить (при ) амплитуду импульса, имеющую место в момент Также предположим, что другие импульсы последовательности имеют ту же форму, но их амплитуды случайны и статистически независимы, а моменты появления распределены по пауссоновскому закону с параметром Я в обе стороны от Тогда задача сформулируется следующим образом:

где величина

статистически независима от и и (0- Мешающий импульсный процесс такой же, как в § 8.7. Было показано, что этот процесс стационарен в широком смысле и получены выражения для среднего значения (8.96) и автокорреляция (8.99).

Подсчитаем корреляционные функции:

Применяя реобразование Фурье и используя (8.99), находим

В (9.97) и (9.98) слагаемые, содержащие могут не учитываться, так как они обусловлены средним значением помехи. Эта составляющая помехи практически устраняется путем исключения постоянной составляющей, что соответствует условию . Это условие несущественно влияет на остальную характеристику и совсем не влияет на алгоритм оценки Подставив в (9.67) значения (9.97) и (9.98), находим функцию передачи оптимального фильтра:

где коэффициент пропорциональности а можно вычислить, подставляя (9.99) обратно в (9.67).

Структура оптимального фильтра качественно ясна. Если X (средняя частота событий) мала, т. е. импульсы достаточно изолированы, а также если шум сравнительно велик, то величина превалирует в знаменателе, и оптимальный фильтр приближается к согласованному для одиночного импульса, С другой стороны, если шум мал (в силу того, что велико или то слагаемым можно пренебречь, и оптимальный фильтр приближается к что обеспечивает очень короткие выходные импульсы,