7.4. ДВУМЕРНЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В этом параграфе мы попытаемся распространить предыдущие понятия на свойства двух случайных процессов, каждый из которых может быть комплексным. Комплексный случайный процесс х есть, в свою очередь, совокупность двух вещественных случайных процессов

Чтобы автокорреляция комплексного процесса х соответствовала скалярному произведению в комплексном линейном пространстве, один из сомножителей должен быть взят комплексно-сопряженным. Поэтому мы вводим определения

и для комплексного стационарного в широком смысле процесса

Два процесса образуют двумерный случайный процесс, если они определены на одном и том же пространстве выборок. Важной общей характеристикой двух процессов является корреляция между всеми парами случайных значений разных процессов. Эта корреляция называется кросс-корреляционной функцией двух процессов

и обладает свойством

Если х и у совместно стационарны в широком смысле, то кросс-корреляция зависит только от разности в этом случае мы определяем кросс-корреляционную функцию в виде

Фильтрация случайных процессов

Наибольший интерес представляет случай, когда х и у связаны линейным преобразованием. Пусть стационарный в широком смысле процесс х пропускается через фильтр с постоянными параметрами, имеющий импульсную реакцию (рис. 7.2).

Тогда у также стационарный в широком смысле процесс. Изменяя порядок интегрирования и усреднения, находим:

Рис. 7.2. Фильтрация стационарного в широком смысле процесса

Мы получили интересный результат. Кросс-корреляционная функция процессов на входе и на выходе фильтра связана с автокорреляционной функцией входного процесса тем же линейным преобразованием свертки, которое преобразует сигналы на, входе в сигналы на выходе. В свою очередь, автокорреляционная функция выходного процесса также связана с автокорреляционной функцией входного процесса интегралом свертки. Действительно,

Здесь удобно изменять порядок интегрирования, тогда

где Поскольку связаны с интегралом свертки, соотношение (7.30) имеет простую форму в частотной области:

где — частотная характеристика фильтра.