9.5. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ФОРМЫ СИГНАЛА

Для систем с АИМ характерно, что нас не интересует ни непрерывная оценка формы сигнала, ни оценка в какой-либо отсчетный момент времени. Оценку принимаемого сигнала нужно производить периодически, чтобы выделять информацию, заложенную в амплитудах импульсов. Как показано на рис. 9.14, оптимальный фильтр вырабатывает выходной сигнал, который при синхронном считывании через каждые Т сек должен обеспечить минимум среднего квадрата ошибки при оценке последовательности амплитуд . В § 8.3 мы показали, что АИМ сигнал является циклостационарным процессом, а последовательность амплитуд стационарна в широком смысле. Поскольку статистические свойства принимаемого сигнала не зависят от момента отсчета, параметры фильтра могут не зависеть от времени. Для рассматриваемой задачи

С учетом (8.27) нужные корреляционные функции имеют значения

Здесь величины определяют корреляцию последовательности амплитуд. Теперь, применяя преобразование Фурье, с учетом (9.68) и (9.69) находим

Рис. 9.14. Периодическая оценка амплитуд АИМ сигнала.

Как и в § 8,4, мы представим корреляцию амплитуд в частотной области, введя периодическую функцию

Тогда (9.104) и (9.105) можно преобразовать к виду

где учтено, что

(см. упражнение 4,4).

Подставив (9.107) и (9,108) в (9.67), получим уравнение для функции передачи оптимального фильтра

Замечая теперь, что периодическая, сделаем подстановку . Тогда из (9.109) получается

где обозначено

Разностное уравнение бесконечного порядка (9.110) допускает простое решение. Это связано с тем, что правая часть и первое слагаемое левой части есть периодические функции с периодом . Поэтому, функция также периодична.

Рис. 9.15. Оптимальная фильтрация для синхронизированного АИМ сигнала.

Обозначены отклики на одиночный импульс единичной амплитуды,

Положим где — периодическая функция. Тогда

где мы обозначили

Подставляя эти значения в (9.110), находим

Окончательно, функция передачи фильтра имеет выражение

Из этого выражения видно, что оптимальный фильтр представляет собой каскадное включение согласованного фильтра для сигнала принимаемого в шуме со спектральной плотностью и фильтра, имеющего периодическую функцию передачи периодичны]. Если второй множитель в (9.114) аппроксимировать конечным рядом Фурье, то фильтр (с общим временем задержки сек) может быть реализован на многоотводной линии задержки, как показано на рис. 9.15 [7—10].

Коэффициенты усиления в отводах есть коэффициенты ряда Фурье для

Эффективность такого фильтра просто выражается через . Если подставить (9.114) в (9.8), найдем

Некоторое пояснение работы оптимального фильтра можно получить, рассматривая частный случай, когда отклик согласованного фильтра на одиночный импульс удовлетворяет условию Найквиста (6.123), в силу которого межсимвольные помехи устраняются. мы имеем в этом случае Поскольку межсимвольные помехи на выходе согласованного фильтра отсутствуют, можно ожидать, что часть фильтра с многоотводной линией задержки должна быть изъята, так как она снова создает такие помехи. Это верно в случае, если амплитуды импульсов некоррелированы, т. е. Но если корреляция в последовательности амплитуд имеет место, то оптимальный фильтр дает некоторый выигрыш за счет уменьшения влияния шума при небольших межсимвольных помехах. Этот эффект ощутим, если шум сравнительно велик.

В случае сильного сигнала мы имеем

И, если межсимвольные помехи в отсутствуют, фильтр на многоотводной линии задержки должен быть исключен.

Упражнение 9.11. В задаче о периодической оценке амплитуд АИМ сигнала предположим, что сигнал нестабилен времени, как было изложено в § 8.5. В этом случае

где случайный момент прихода определяется выражением Пусть — статистически независимые случайные величины с плотностью вероятности Получить условие оптимальности фильтра в форме, подобной (9.110).