7.6. УЗКОПОЛОСНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые описания стационарных узкополосных процессов, т. е. процессов, спектральная плотность мощности которых концентрируется около некоторой центральной частоты. Потребность в специальном рассмотрении таких процессов точно такая же, как для детерминированных узкополосных сигналов, рассмотренных в § 4.4. Для случайных процессов мы также хотим воспользоваться преимуществами, присущими узкополосным сигналам и узкополосной операции фильтрации.

Мы начнем, как и в § 4.4, с рассмотрения комплексного процесса, связанного с вещественным процессом х соотношением

где

— преобразование Гильберта от .

Пусть x стационарный в широком смысле процесс с нулевым средним. Тогда х также стационарный в широком смысле процесс с нулевым средним. Компонента х, связана с х преобразованием, инвариантным к временному сдвигу (сверткой). Можно поэтому записать корреляционную функцию, как функцию одного аргумента:

Каждую из корреляционных функций в (7.58) можно выразить через Например,

или, учитывая (4.246),

Теперь, используя (4.24а) и тот факт, что автокорреляционная функция действительного процесса четна, находим

Подобным образом можно получить также

Подставляя (7.59) и (7.60) в (7.58), мы видим, что сама имеет форму аналитического сигнала (4.37)

Этот результат показывает, что спектральная плотность мощности комплексного процесса однополосна, т. е. отлична от нуля только при положительных частотах. Этого и нужно было ожидать, учитывая одно-полосность аналитических сигналов, обсуждавшуюся в § 4.4. Из (4.28) имеем

Комплексная огибающая процесса

Теперь определим комплексную огибающую процесса к (относительно выбранной «центральной» частоты выражением

причем . Таким образом, узкополосный процесс собразуется из двух узкополосных процессов — квадратурных компонент и и

Так как сомножители в (7.63) и (7.64) зависят от времени, представляется неочевидным, что и и есть стационарные в широком смысле процессы. Чтобы убедиться в их стационарности, заметим, что

и, следовательно,

В (7.66) последние два члена (зависящие от t) равны нулю в силу условий (7.59) и (7.60):

Таким образом, автокорреляционная функция процесса и не зависит от , кроме того, и имеет нулевое среднее значение (поскольку мы предположили, что х имеет нулевое среднее значение). Это означает, что и — стационарный в широком смысле процесс, и (7.66) дает

Аналогичными рассуждениями нетрудно показать, что

Окончательно находим

Рис. 7.4. Спектральная плотность комплексной огибающей процесса.

Спектральная плотность мощности комплексной огибающей процесса образуется путем сдвига (по частоте) односторонней спектральной плотности процесса как показано на рис. 7.4,

Заметим, что если — четная функция симметрична относительно то — вещественна, и, как следует из (7.71), квадратурные компоненты процесса некоррелированы.

Полосовая фильтрация

Применяя результаты § 4.4, рассмотрим воздействие на процесс полосового фильтра с постоянными во времени параметрами, причем будем искать адекватное описание оператора фильтрации через низкочастотные компоненты, низкочастотные эквиваленты полосовых процессов. Для случайных процессов важно найти линейное преобразование, связывающее автокорреляционные функции (7.30) и (7.31) на входе и выходе фильтра. Мы получим низкочастотный эквивалент этого преобразования.

Пусть полосовой фильтр имеегг передаточную функцию низкочастотный эквивалент которой есть Согласно (7.31) линейное

преобразование, связывающее входную и выходную корреляционные функции, имеет вид

Из (4.57) мы знаем соответствующую связь комплексных огибающих процесса

Рис. 7.6. Низкочастотный эквивалент преобразования, связывающего автокорреляционные функции на входе и выходе.

Чтобы выявить корреляционную функцию вещественного низкочастотного процесса, нужно в соответствии с (7.71) определить вещественную и мнимую части автокорреляционной функции комплексного процесса. Они соответствуют, в свою очередь, четной и нечетной частям спектральной плотности мощности комплексного процесса. Выполним разбиение (7,74) на четную и нечетную части:

причем согласно рис. 4.6

Линейные преобразования автокорреляционной и кросс-корреляционной функции не самих сигналов) символически показаны на рис. 7.5. Видно, как при несимметричной характеристике полосового фильтра возникает корреляция между разными квадратурными компонентами процесса. Это важно учитывать, например, при анализе работы разного рода когерентных демодуляторов, примеры которых были в § 4.4.

Упражнение 7.9. По аналогии с (4.48) можно выбрать «центральную» частоту вещественного полосового процесса как центр тяжести односторонней спектральной плотности мощности, т. е.

В гл. 4 было показано, что величину определенную согласно (4.48), можно интерпретировать как среднее по времени значение мгновенной частоты сигнала, причем весовой функцией является огибающая сигнала.

Показать, что аналогичная интерпретация применима для стационарных случайных процессов, если определено в виде

где

Указание, Дифференцирование по времени и преобразование Гильберта следует трактовать как операции фильтрации при неизменных во времени параметрах фильтра.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)