4.2. БАЗИСНЫЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ БАЗИСНЫЕ ЯДРА

Непрерывный аналог рассматриваемого в гл. 3 конечномерного представления получается, если заменить в (3.2) дискретный индекс — номер базисной функции — континуальной переменной Множество S обычно представляет собой некоторый интервал действительной оси. Базис теперь выражается функцией зависящей от двух переменных, и формула (3.2) принимает вид

где и есть непрерывное представление аналогичное в (32). Функция и это функция «плотности», характеризующая распределение относительно на различных участках области Применяя обычную для интегральных уравнений терминологию, мы говорим, что есть базисное ядро интегрального преобразования, используемого для представления сигнала. Продолжая аналогию, попытаемся представить и для каждого значения как линейный функционал от х. Тогда (3.7) принимает вид

где функция называется сопряженным базисным ядром. Если сопряженный базис существует, то соотношения (4.1а) и (4.1 б), рассматриваемые совместно, есть пара преобразований.

Мы не требуем, чтобы были функциями с интегрируемым квадратом. Именно в этом вопросе аналогия нарушается. Как будет показано, необходимо расширить наши представления о функциональном пространстве, если мы хотим включить в него базисные и сопряженные базисные ядра. Это верно даже тогда, когда класс рассматриваемых сигналов ограничен Расширяя пространство, мы постараемся, однако, сохранить форму линейного функционала в виде скалярного произведения, как это было определено для .

Подставив в и изменив порядок интегрирования, получим условие, которому должны удовлетворять сопряженные ядра:

где

Рассматривая как линейный функционал от х при фиксированном мы видим, что это есть функционал выборки, обсуждавшийся в связи с (2.63). Там мы отмечали, что такой функционал не ограничен (или не непрерывен); следовательно, нельзя ожидать, что в найдется функция (от ), удовлетворяющая условию (4.2а) при всех х. Больше того, ни одной функции в обычном смысле слова, удовлетворяющей (4.2а) при произвольном х. Мы преодолеем это затруднение, если будем понимать скалярное произведение, представляющее функционал лишь как символическую запись. На такой трактовке основаны современные теории распределений и обобщенных функций [3—6], которые строго определяют рамки нужного нам расширенного пространства.

Итак, символически запишем

где обобщенная функция, называемая -функцией Дирака. Несмотря на некоторую нестрогость, физическая интерпретация -функции как идеальной импульсной реакции не нуждается в защите и давно используется инженерами и физиками. Алгебраические операции дифференцирования, интегрирования и свертки могут быть определены для обобщенных функций подобно тому, как это делается для обычных функций. Определим производную по времени от линейного функционала зависящего от действительных функций времени, следующим образом.

Вначале положим, чтохг есть функция х, со смещенным во времени аргументом. Теперь определим производную по времени от , следовательно, производную по времени от обобщенной функции следующим образом:

Следовательно, мы имеем

или символически

Будем рассматривать соотношение (4.4) как определение производной от обобщенной функции. Применяя интегрирование по частям, можно показать, что это определение согласуется с определением для обычных функций, если хотя бы одна функция, или х, обращается в нуль на концах интервала интегрирования.

Аналогично, для производных высших порядков получаем

Так что, в частности,

это свойство -функции и ее производных часто будет использоваться в последующих главах.

Упражнение 4.1. Для любой действительной константы а показать, что

Теперь, возвращаясь к (4.2), потребуем, чтобы при заданном базисном ядре сопряженное ядро удовлетворяло условию

Аналогичным образом, подстановка (4.1а) в (4.16) приводит к дополнительному условию:

которому должны удовлетворять чтобы быть сопряженными базисными ядрами. Соотношение (4.7) есть непрерывный аналог (3.5). Соответствующие величины для дискретных и непрерывных представлений сведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Соответствующие величины при дискретном и непрерывном представлении

Анализ условия (4.7) показывает, что функции и 0 не могут одновременно принадлежать или (как функции или соответственно). Это можно пояснить так. Предположим, что 0 в некотором смысле «хорошая» функция, т. е. непрерывная и интегрируемая, тогда и в (4.1 б) — это «сглаженная» функция Сглаживание должно быть устранено при обратном преобразовании (4.1а), что возможно лишь при достаточно сильной нерегулярности функции Ясно, что одна из функций, или 0, или обе должны быть сингулярными, они могут содержать -функции и их производные или быть неинтегрируемыми, как в случае преобразования Фурье.

Часто полезно рассматривать дискретное представление как частный случай интегрального. Если х лежит в подпространстве, натянутом на

т. е. если

то преобразование имеет вид

Мы получили ожидаемый результат: функция плотности распределения х по отношению к сосредоточена в отдельных точках Для некоторых сигналов функция плотности может содержать и -функции, и обычные функции. В этих случаях удобно разбить сигнал на «дискретную» и «непрерывную» части»

Некоторые базисные ядра обладают тем свойством, что преобразование функций от принадлежащих , всегда порождает функции от принадлежащие Полное соответствие между функциями, определенными в областях и обеспечивается самосопряженными ядрами, т. е. такими, что

эти ядра соответствуют ортонормальному базису в дискретном случае. Пусть и — преобразования от соответственно. Тогда

Если — самосопряженное ядро (4.9), то

Таким образом, величина скалярного произведения не изменяется при переходе из области в область Этим свойством обладают многие часто используемые преобразования.