8.2. ИМПУЛЬСНЫЕ СИГНАЛЫ СО СЛУЧАЙНОЙ АМПЛИТУДОЙ И СЛУЧАЙНЫМ ВРЕМЕНЕМ ПРИХОДА

В некоторых системах, скажем в радио- и звуколокации, сигнальные импульсы достаточно далеко разнесены во времени, так что модель сигнала представляет собой одиночные импульсы известкой формы, отраженные от цели. Поскольку отражающая поверхность цели и ее

дальность не известны амплитуда. и время прихода отраженного импульса могут рассматриваться как случайные величины. В некоторых случаях, например при наличии нескольких целей, сигнал состоит из нескольких импульсов со случайной амплитудой и случайными моментами прихода. Эта простейшая модель рассматривается в следующих примерах.

Одиночный импульс

Пусть

где — статистически независимые случайные величины. Среднее значение этого процесса пропорционально свертке импульса и плотности вероятности для величины

Автокорреляционная функция имеет вид

Из (8.3) видно, что в общем случае процесс нестационарный. Если время прихода известно, то и тогда

По мере того как время прихода становится все более и более неопределенным, ширина функции увеличивается, и процесс приближается в некоторых отношениях к стационарному в широком смысле. Если положить плотность постоянной в интервале то

Когда велико сравнению с длительностью импульса интегралы в (8.5) не зависят от для всех . Впрочем, этим не обеспечивается

строгая стационарность процесса, так как средний квадрат его стремится к нулю при Другая интересная особенность этого случая состоит в том, что в соответствии с (2.40) автокорреляционная функция приблизительно пропорциональна временной функции неопределенности для импульса

Последовательность импульсов

Пусть

где случайных величин предполагаются статистически независимыми. Предположим также, что распределения величин одинаковы для всех импульсов и не зависят от Тогда

причем

Рассматривая отдельно слагаемых с слагаемых с получаем

Если постоянна в интервале и мы положим то в пределе, при получается стационарный в широком смысле процесс. В этом случае

Здесь

Из (8.10) ясно, что автокорреляционная функция пропорциональна временному сечению функции неопределенности для . Будем далее обозначать эту функцию через Параметр есть средняя частота появления импульсов. Спектральная плотность мощности рассматриваемого процесса имеет вид

где

Наличие -функции указывает на то, что в общем случае имеется конечная мощность постоянной составляющей процесса.

Рассмотренная модель часто используется для описания дробового шума в электронных приборах, В этом случае — импульс тока» несущий заряд и возникающий во внешней цепи при пролете отдельной частицы. Формула (8,10) в этом применении часто называется теоремой Кемпбела . В § 8.7 мы более подробно рассмотрим этот тип процесса и дадим другой вывод формул для среднего значения и для автокорреляционной функции.