Стробирование и фильтрация

Чтобы связать эти результаты с ограничением длительности и полосы сигнала, рассмотрим оператор вида

Рис. 6.13. Оператор ограничения длительности и полосы

Этот оператор можно интерпретировать физически как последовательные операции стробирования и фильтрации (рис. 6.13). Стробирующая (весовая) функция обусловливает, в некотором смысле, ограничение длительности входного сигнала, а передаточная функция фильтра — аналогичное ограничение ширины полосы. Если каждая из функций и интегрируема в квадрате, то условие (6.139) удовлетворяется, и мы можем, анализируя собственные значения оператора выяснить, какая размерность необходима для представления с заданной точностью выходных сигналов оператора

Заметим, что, как указывалось в § 5.5, операторы стробирования и фильтрации порознь не удовлетворяют условию (6.139). Действительно, они не имеют дискретного спектрального представления, и число их ненулевых собственных значений бесконечно. Поэтому, учитывая обсуждения в конце предыдущего параграфа, мы подошли к мысли о том, что сигнал можно считать конечномерным лишь тогда, когда одновременно существуют некоторые ограничения на длительность и ширину полосы.

Оптимальные базисные функции для представления получаются из (6.137), если решения уравнения (6.141), соответствующие

наибольшим собственным значениям, подвергнуть последовательно сгробированию и фильтрации:

где

Рис. 8.14. Другой способ ограничения длительности в полосы.

Если поменять местами стробирование и фильтрацию, как показано на рис. 6.14, то

и уравнение для собственных значений, соответствующее (6.141), будет иметь вид

где

В частотной области это уравнение имеет ту же форму, что и (6.141), так как (6.144) эквивалентно уравнению

где

Из этой частотно-временной дуальности можно заключить, что если функции стробирования и фильтрации имеют одну и ту же форму, т. е. , где а — вещественная положительная константа, то интегральные уравнения (6.141) и (6.145) имеют одни и те же собственные значения и приближенное число измерений пространства не зависит от последовательности операций. Однако базисные функции для этих двух случаев получаются разными.

Более общее следствие дуальности (6.141) и (6.145) состоит в том, что для любого оператора, соответствующего рис. 6.13, существует оператор, подходящим образом изменяющий функции стробирования и фильтрации и меняющий их местами (рис. 6.14), такой, что собственные значения одни и те же в обоих случаях (см. упражнение 6.13). Пример 6.7. Если перед фильтрацией мы осуществляем стробирование прямоугольной функцией принимает вид:

это совпадает с (6.56) в общей постановке задачи Чока (пример 6.2). В частности, если функция фильтрации соответствует однозвенному -фильтру низкой частоты, то упорядоченные собственные значения уравнения (6.146) имеют вид

где

- определяются из (6.61) и (6.62), Графическое решение уравнения (6.147), показанное на рис. 6.15, дает

Следовательно,

Когда есть максимальное собственное значение, поскольку то для представления выходного сигнала фильтра пригодно одномерное пространство. Это и понятно; в этом случае длительность импульсной реакции фильтра очень велика по сравнению с и входной сигнал фильтра (после стробирования) можно рассматривать как импульсивное возбуждение. В результате,

выход фильтра будет пропорционален импульсной реакции при любом входном сигнале, прошедшем стробирование.

Для больших значений имеется много собственных значений, близких к единице, и для получится Это говорит о том, что для хорошей аппроксимации сигналов этого класса может потребоваться в несколько раз большее, чем Из выражений в (6.148), указывающих границы для видно, что сравнительно медленное убывание вызвано, в частности, постепенным спадом на высоких частотах. Если это рассуждение верно, то для идеального фильтра низких частот [прямоугольная ] значения должны убывать очень быстро после некоторого

Рис. 6.15. Графическое определение собственных значений уравнения (6.146).

Рис. 6.16. Собственные значения уравнения для случая идеального фильтра низких частот.

Пример 6.8 Собственные значения (6.146) для случая

вычислены и табулированы [21] для широкого диапазона значений Эти зависимости изображены на рис. 6.16, где ясно виден быстрый спад при больших с.

Как отмечалось, собственные функции есть сфероидальные волновые функции, которые и являются базисными для этой задачи [см. (6.104)]. Вопрос о приближенной размерности соответствующего пространства сигналов подробно рассмотрен в [12] при несколько менее жестких условиях, наложенных на длительность и ширину полосы. Ниже мы приводим один из существенных результатов этой работы. Пусть — сигнал, удовлетворяющий условиям

где прямоугольные весовые функции:

Тогда можно найти констант таких, что

где — сфероидальные волновые функции, наименьшее целое число, превышающее

Упражнение Проверить, что есть самосопряженный неотрицательно определенный оператор. Нарисовать блок-схемы устройств, реализующих операторы 3 и из (6.141) и (6.144).

Упражнение Показать, что для указанных ниже схем собственные функции операторов — одни и те же, если где а — вещественная положительная константа.

Упражнение 6.14, Если на выходе схемы, состоящей из стробирующего устройства с последующим фильтром, поставить еще одно стрсйирующее устройство, то можно ожидать, что «размерность» выходных сигналов уменьшится. В качестве конкретной иллюстрация зтого показать, что в случае прямоугольных

собственные значения оператора суть просто квадраты собственных значений оператора

Указание. Показать, что

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)