6.3. НЕКОТОРЫЕ ХАРАКТЕРНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ВО ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТЯХ
Для упрощения дальнейших исследований полезно рассмотреть характерные квадратичные функционалы, широко применяемые в задачах оптимизации сигналов.
Пусть
Таким образом, квадрат нормы сигнала есть квадратичный функционал, соответствующий тождественному оператору. Как упоминалось, этот функционал обычно служит для оценки энергии, содержащейся в сигнале. В некоторых задачах важно учитывать различие с физическим понятием энергии (см. пример 6.5).
Функционал
есть «взвешенная» энергия с произвольным вещественным весом 
Этот функционал используется для того, чтобы как-то учесть различные распределения энергии во времени. Соответствующий оператор 
имеет «диагональную» структуру:
Можно показать, что этот оператор самосопряженный. Если 
при всех 
то 
— положительно-определенный функционал.
Таблица 6.1. Некоторые квадратичные функционалы и соответствующие им операторы во временной и частотной областях
Аналогично функционал
где 
— вещественно, есть «взвешенная» энергия в частотной области, 
— самосопряженный, и при 
для всех 
также положительно-определенный оператор.
В качестве дополнительного примера рассмотрим случай, когда аргументы функционалов 
подвергаются инвариантному во времени линейному преобразованию:
Тогда
Другой полезный квадартичный функционал образуется из двух линейных функционалов путем перемножения одного из них и сопряженного со вторым:
Рассмотренные функционалы и соответствующие им операторные ядра во временной и частотной областях приведены в табл. 6.1.
