5.5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В L2(T)

Представляя операторы в функциональными ядрами интегральных преобразований, мы обошли важный вопрос о конечных численных представлениях для этих операторов. Существо проблемы в том, чтобы найти оператор, выражаемый матрицей размера как в § 5.3, который дает подходящее, в некотором смысле, приближение для интересующего нас оператора в Полезный и прямой путь состоит в ограничении области определения конечномерным подпространством из в котором множество входных сигналов адекватно представимо линейными комбинациями конечного числа базисных функций. Например, можно принять, что первые функций одной из полных ортонормальных систем» описанных в § 3.3, обеспечивают адекватное представление для всех входных сигналов. Было бы совсем удобно представить выходные сигналы относительно того же базиса. В соответствии со сказанным, обозначим через подпространство, натянутое на . В общем случае изображения векторов х который мы хотим аппроксимировать, не содержатся в

Рис. 5.4. Приближение оператора, действующего в в конечномерной области.

Выберем в качестве аппроксимирующего такой оператор который отображает х в ортогональную проекцию изображения Это иллюстрируется на рис. 5.4.

Согласно (3.9) ортогональная проекция у на есть

а выражается так:

Поэтому, подставляя (5,55) в (5.54), получаем

Таким образом, оператор X представляется матрицей относительно базиса Элементы матрицы имеют вид

Пример Чтобы проиллюстрировать применение представления операторов матрицей, рассмотрим пример, в котором входные и выходные сигналы представляются рядами по смещенным во времени функциям. Пусть — подпространство» натянутое на где — ортонормальные интерполяционные функции. Выбрав достаточно большим, а достаточно малым, можно получить произвольно точное

представление сигнала на интервале т. Теперь положим, что инвариантный во времени оператор, соответствующий цепи с импульсной реакцией Тогда

где есть отклик цепи на базисный интерполяционный импульс Зная этот единственный импульсный отклик, мы можем полностью описать оператор так как из (5.57) имеем

Таким образом» матрица может быть построена путем последовательных сдвигов элементов

Множество из таких элементов образует вектор-строку, представляющий исходный импульсный отклик спроектированный на

Здесь учтено, что — ортонормальная система.

Если — физически реализуемый оператор [А (0 — 0 для то элементы должны быть малыми. Приняв их равными нулю, получим треугольную матрицу (все элементы выше главной диагонали равны нулю), и

где — вектор-строки, представляющие входной и выходной сигналы соответственно. Из формулы (5.62) ясно, что она описывает просто правило умножения полиномов; это приводит к некоторым описаниям» применимым в задачах о преобразовании физически реализуемыми цепями сигналов, представленных сдвинутыми во времени функциями, например, к описанию посредством z-преобразования [9). Чтобы показать это, введем полиномы порядка

Тогда первых коэффициентов полинома

имеют значения, соответствующие отсчетным значениям выходного сигнала. Остальные коэффициенты в представляют ту часть выходного сигнала,

которая оказалась вне но эти коэффициенты малы, если малы коэффициенты высоких порядков в

Рис. 5.5 иллюстрирует случай ступенчатой аппроксимации сигнала, получающийся при прямоугольном интерполяционном импульсе Мы полагаем, что исследуемая цепь есть однозвенный RС-фильтр; и для упрощения выбираем Тогда

Рис. 5,5. Пример представления инвариантного во времени оператора с помощью смещенных во времени базисных функций: отклик на базисный импульс (а): отклик на произвольный сигнал (б).

Упражнение 5.8. Пусть — другой базис для того же пространства натянутого на Показать, что матричное представление (5.57) для по отношению к новому базису есть где элементы матрицы Г имеют вид Говорят, что матрица связана с преобразованием подобия.

Упражнение 5.9. Показать, что операция ортогонального проектирования любого на может характеризоваться вырожденным ядром

Соответствующий оператор называется оператором ортогонального проектирования. Показать, что 0 — идемпотентный оператор, т. е. . Какова норма

Приближение операторов по норме

Как только мы попытаемся исследовать степень приближения оператора действующего в , посредством его матричного представления получаемого согласно (5,57), выявляются недостатки такого представления. Трудность состоит в том, что в существуют точки, для которых величина ошибки может быть велика, и, более того, эту ошибку не всегда удается уменьшить простым увеличением Трудно ответить на вопрос, связан ли этот недостаток со свойствами исходного оператора X или дело здесь в том, как мы выбираем подпространство Чтобы обойти этот вопрос, будем считать, что область определения всех рассматриваемых нами операторов есть . Тогда это вырожденные операторы вида

где

и

Поскольку мы определили норму операторов (5,8), можно характеризовать расстояние между оператором и его приближением в порождаемой этим определением метрике:

Такой подход приводит к задаче, несколько отличной от задачи об аппроксимации сигналов в полными ортонормальными системами. Мы хотим найти в две системы функций , такие, что соответствующий вырожденный оператор аппроксимирует произвольный оператор в том смысле, что может быть сделана произольно малой за счет достаточно большого Для расширения возможных применений мы будем далее считать, что функциональное пространство есть

Компактные операторы

Может показаться, что при достаточно большом любой ограниченный оператор можно с желаемой точностью аппроксимировать вырожденным оператором порядка Это неверно, и имеются простые примеры ограниченных, для которых ни одна последовательность не сходится по норме к X при Трудность заключается в вырожденный оператор имеет конечномерную область значений, и, следовательно, может аппроксимировать только те операторы, для которых область значений ограничена как-то так, что все ее точки близки к конечномерному подпространству. В частности, требуется, чтобы множество отображений точек единичной сферы было близко к конечномерному подпространству. Не достаточно, чтобы это множество отображений было просто ограниченным. Рассмотрим в качестве примера тождественный

оператор, который является ограниченным. Отображения ортогональной последовательности образуют ограниченное множество, но расстояние между любыми отображениями равно следовательно, для любого заданного конечномерного подпространства мы можем найти которое не является достаточно близким ни к одной точке этого подпространства. Для того чтобы оператор мог быть аппроксимирован вырожденным оператором» необходимо наложить на отображение единичной сферы более жесткое условие, чем ограниченность. Такое условие связано с понятием о равномерной ограниченности множеств. Множество с введенной в нем метрикой называется равномерно ограниченным, ссли для любого существует конечное подмножество называемое -сетью, такое, что для некоторых и любых х из Другими словами, множество достаточно «компактно», и можно выбрать конечное число точек множества, таких, что любая другая точка множества находится не больше, чем на расстоянии от одной из выбранных точек. Равномерная ограниченность в метрическом пространстве эквивалентна более общему понятию компактности в абстрактных топологических пространствах [1]. Легко видеть, что равномерно ограниченное множество близко к некоторому конечномерному подпространству: мы можем построить базис из точек -сети, и подпространство, натянутое на этот базис, будет содержать точки отстоящие не дальше чем на от любой точки множества. Теперь предположим, что подмножество содержащее -сеть для множества натянуто на . В качестве аппроксимирующего оператора мы выберем оператор, который отображает х в ортогональную проекцию на

Следовательно, х есть точка в ближайшая к и поскольку содержит -сеть для отображений единичной сферы, то

где может быть сделано сколь угодно малым при достаточно большом Для получения функционального ядра вырожденного оператора перепишем (5.67) иначе;

где

причем X — оператор, сопряженный с X, определенный в § 5.7.

В результате, функциональное ядро оператора есть

Операторы, обладающие свойством отображать ограниченные множества в равномерно ограниченные (компактные), называются компактными или вполне непрерывными [2, 3]. Мы видим, что задача аппроксимации была бы несложной, если бы не трудность нахождения -сетей для операторов. Для более

узкого класса операторов метод спектрального представления, рассматриваемый в § 5.7, удобен для отыскания наилучшей аппроксимации. В заключение данного параграфа рассмотрим некоторые операторы с точки зрения их компактности.

Как уже отмечалось, тождественный оператор не является компактным. Действительно, любой инвариантный во времени оператор (свертка) не компактен в (см. упражнение 5.10), даже, если функция импульсной реакции принадлежит Используя частотно-временную дуальность, можно легко показать, что и оператор стробирования не компактный; однако, как будет показано ниже, последовательное соединение этих двух операторов может быть компактным.

Операторы Гильберта—Шмидта. Удобное достаточное условие компактности состоит в том, что ядро оператора должно быть функцией с интегрируемым квадратом (операторы Гильберта—Шмидта)

Представляется естественным искать представление для такого ядра с помощью разделимых ядер Это действительно можно сделать, и можнй показать что сходится к в том смысле, что,

если удовлетворяет условию (5.72), и ядра в (5.73) имеют вид

где

есть сопряженный базис для полной системы Множество принадлежит , поскольку X — ограниченный оператор.

Чтобы пояснить, почему оператор Гильберта—Шмидта отображает единичную сферу в компактное множество, положим, что — ортонормальная система, так что тогда, объединяя (5.74) и (5.73), получаем

Следовательно,

т. e. только конечное число отображений исходных базисных векторов может заметно отличаться от нуля. Поэтому мы можем считать, что область значений оператора «приблизительно» конечномерная.

Покажем, что в нашем случае действительно стремится к Для этого обозначим

Тогда согласно принадлежит при Используя неравенство Шварца, получаем

Следовательно,

т. е.

Пример 5.2. Для иллюстрации примекення этого простого условия, достаточного для компактности оператора» рассмотрим произведение операторов, получающееся при каскадном включении инвариантного во времени оператора и оператора стробирования, как показано на рис. 5.6. Для 35 — имеем

Рис. 5.6. Примеры операторов Гильберта — Шмидта при

Таким образом,

Следовательно, результирующий оператор есть оператор Гильберта—Шмидта (компактный) в том случае, если принадлежит хотя порознь операторы не компактны. Аналогично для произведения получаем

и

так что такое произведение также есть оператор Гильберта—Шмидта, если принадлежат

Чтобы определить, является ли компактным оператор, соответствующий некоторой физической системе, часто полезно иметь в виду, что каскадное соединение (в любом порядке) одной из схем, показанных на рис. 5.6, и произвольного ограниченного оператора также дает компактный оператор (см. упражнение 5.11).

Упражнение 5.10. Показать, что инвариантный во времени оператор в — не компактный. Показать, что оператор стробирования также не компактный.

Указание: является ли множество ограниченным в Является ли множество равномерно ограниченным?

Упражнение 5.11. Похазать, что каскадное соединение (в любом порядке) ограниченного и компактного оператора дает компактный оператор.