Спектральное представление нормальных компактных операторов

Обобщая предыдущие результаты, логично далее перейти от вырожденных операторов к компактным, действующим в Поскольку мы показали, что компактные операторы могут быть аппроксимированы вырожденными, следует ожидать, что имеется существенная общность в их спектральных представлениях. Действительно, единственное различие состоит в том, что в общем случае компактный оператор имеет бесконечное число ненулевых собственных значений. Мы можем показать, однако, что собственное значение Л стремится к нулю с увеличением Если принять обратное допущение, т. е., что не стремится к нулю» то должно существовать бесконечно много таких что Линейно независимое множество в этом случае не будет равномерно ограниченным, и, следовательно, оператор не будет компактным. Отсюда непосредственно следует также, что для компактного оператора кратность любого ненулевого собственного значения конечна. Спектральное представление нормального компактного оператора имеет вид

Это уравнение является прямым обобщением (5.106), Функциональное ядро для X выражается через собственные векторы следующим образом;

Это ядро называется, ядром Гильберта—Шмидта при условии, что

Часто полезно упорядочить собственные значения так, чтобы они образовали невозрастающую последовательность:

Когда это сделано, первое собственное значение приобретает особое значение, так как оно равно норме оператора. Чтобы показать это» положим» что

тогда

Если , то

и сумма в (5.111) достигает максимума при при Таким образом,

Одно из практических применений спектрального представления достаточно очевидно. Нели мы хотим определить оператор цепочечной схемы (рис. 5.10), состоящей из одинаковых звеньев, нужно возвести оператор одного звена в степень.

Учитывая (5.108), имеем

Обобщением схемы рис. 5.10 является часто применяемый в устройствах обработки трансверсальный фильтр, показанный на рис. 5.11. Используя формулу (5.108) для представления оператора одного звена, прлучаем для фильтра а целом

где полином степени

определяет собственные значения трансверсалъного фильтра через собственные значения звена. Мы получили удобную схему для реализации широкого класса операторов, так как обычно нетрудно выполнить требуемое усиление в каждом отводе цепочки. Если все собственные значения оператора звена различны, то, изменяя коэффициент усиления, можно реализовать произвольные к собственных значений оператора для фильтра в целом,

Рис. 5.10. Спектральное представление цепочки одинаковых звеньев.

Теперь обратимся к вопросу о наилучшей аппроксимации компактного оператора с помощью вырожденного оператора ранга

Для некоторого подкласса нормальных операторов спектральное представление приводит к ясному результату и простому выражению для ошибки аппроксимации. Речь идет о подклассе самосопряженных операторов, определяемых соотношением Прежде всего отметим, что собственные значения сопряженного оператора всегда вещественны. Поскольку самосопряженный оператор нормален, то следовательно, . Предположим далее, что собственные значения упорядочены согласно (5.110), т. е. образуют невозрастающую последовательность.

В качестве аппроксимирующего оператора для компактного самосопряженного оператора мы возьмем его спектральное представление, в котором просто отброшены члены порядка выше

Можно показать [3], что это наилучшая аппроксимация в том смысле, что

где произвольный оператор порядка. Далее, из (5.113) мы имеем

Поскольку последовательность стремится к нулю, это соотношение показывает, какого порядка нужно взять аппроксимирующий оператор, чтобы получить необходимую точность.

В заключение рассмотрим кратко спектральные представления для некоторых не компактных операторов. Более общая спектральная теория встречается с рядом трудностей, но некоторые из предыдущих соображений применимы в принципе для более общих случаев. Например, интуитивно ясно, что для оператора стробирования (5.42)

собственные функции имеют вид

а соответствующие собственные значения хотя эти собственные функции и не принадлежат

Рис. 5.11. Спектральное представление трансверсального фильтра.

Упомянем сразу» что спектр оператора есть сама весовая функция , и собственные значения образуют несчетное множество, распределенное непрерывно на соответствующем интервале действительной оси.

Аналогично для инвариантного во времени оператора (5.37)

функции хотя они и не принадлежат инварианты относительно операции (5.121):

Следовательно, спектром является передаточная функция оператора. Именно поэтому мы привыкли представлять себе ось частот как спектральное представление для инвариантных во времени операторов.

Упражнение 5.16. Получить условия, которым должны удовлетворять системы функций для того, чтобы был нормальным оператором.

Упражнение 5.17. Показать, что собственные значения нормального вырожденного оператора не зависят от выбора базисной системы, т. е. характеристический полином инвариантен относительно базиса.

Указание: использовать результаты упражнения 5.6 и следующее свойство детерминантов;

Упражнение 5.18. Показать, что оператор ортогонального проектирования — самосопряженный.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)