Синхронные импульсные последовательности, критерий Найквиста, теорема отсчетов

Если импульсная последовательность (6.113) синхронна в том смысле, что выбрать такие импульсы, что межсимвольные искажения будут произвольно малыми даже при ограниченной полосе. Пусть амплитуды в (6.114) могут принимать произвольные значения. Тогда межсимвольные искажения равны нулю в том и только в том случае, если для . Это эквивалентно условию

которое может быть записано в виде квадратичного функционала от х

где

Согласно (6.24) соответствующий оператор в частотной области имеет вид (см. упражнение 4,3) -

Следовательно, квадратичный функционал в частотной области может быть записан так:

Ясно, что (6.122) обращается в нуль, если

Условие (6.123) известно как критерий Найквиста [18] устранения межсимвольных искажений для последовательности с равноотстоящими импульсами (см. также упражнение Преобразование Фурье типичного сигнала, удовлетворяющего этому критерию, показано на рис. 6.12. Заметим, что должно обладать нечетной симметрией относительно точки чтобы сумма всех сдвинутых давала постоянную величину, согласно требованию (6.123).

Если рассматривать импульсы с ограниченной полосой критерий может быть удовлетворен при Для критерий удовлетворяется только при прямоугольной форме

Рис. 6.12. Преобразователь Фурье типичного импульса, удовлетворяющего критерию Найквиста,

Дальнейшее, более глубокое, понимание критерия Найквиста дает формула суммирования Пуассона [19], согласно которой для произвольного имеем

Следовательно, значения отсчетов являются просто коэффициентами Фурье для периодической функции

Для того чтобы межсимвольные искажения отсутствовали, должно выполняться условие для чего необходимо, чтобы левая часть (6.125) была константой. Эти соображения связаны с представлениями ограниченных по полосе сигналов с помощью рядов во временнбй области. Пусть — сигналы, ограниченные полосой Тогда, как можно показать,

Этот результат становится яснее, если взять преобразование Фурье от обеих частей (6.126) и применить формулу суммирования Пуассона (6.125). Мы получим

что, очевидно, удовлетворяется, если при Теперь положим, что — произвольный сигнал с ограниченной полосой, а удовлетворяет условию Найквиста (6.123). В этом случае» положив еще находим из (6.126)

Таким образом, мы получили теорему отсчетов для сигналов с ограниченной полосой, которая обсуждалась в гл. 1. Мы показали, что произвольный сигнал, ограниченный полосой можно единственным образом представить своими отсчетами, взятыми через интервал сек. Для сигнала конечной энергии только конечное число этих отсчетов существенно отличается от нуля. Если значащие отсчеты сосредоточены на интервале то их число равно Можно поэтому сказать, что класс сигналов с шириной полосы и длительностью, приблизительно равными и расположен в подпространстве, имеющем измерений. Более полный анализ этого предположения приведен в следующем параграфе.

Упражнение 6.10. Возьмем точку на линяй {см. рис. 6.10) или ниже ее. Нарисовать сигнал, обладающий соответствующей концентрацией энергии в частотной и временнбй областях для очень малых значений с.

Упражнение 6.11. Найти преобразование Фурье вещественного сигнала с единичной энергией, ограниченного по полосе и имеющего минимальный чет вертый момент, т. е. положить в (6.94)