1.2. МНОЖЕСТВА СИГНАЛОВ

При графическом представлении сигналы изображаются сложной совокупностью точек, кривой, в простой области —в двумерном пространстве. В отличие от этого мы введем далее более сложные пространства — пространство сигналов в которых каждый сигнал изображается простейшим элементом - точкой [1]. В качестве первого шага в этом направлении рассмотрим сигнал как элемент множества 5. Само множество определяется некоторым свойством Р. которое есть утверждение, справедливое для любого элемента множества. Условно это изображается так: есть множество всех х, для которых справедливо Р. Вводя дополнительное обозначение, можно записать что означает: верно для принадлежащего . Определив свойство мы задаем тем самым множество сигналов,

Обычно проще иметь дело со сравнительно «узким» множеством, ограниченным жестким условием. Конечно, когда ограничение слишком жестко, множество содержит мало полезных сигналов. Выбор свойства Р — это сложная задача. Приведем несколько примеров, с которыми часто имеют дело в теории сигналов.

Гармонические сигналы. Обозначим через множество всех гармонических (синусоидальных) сигналов, т. е.

Утверждение в (1.1) означает, что эти параметры могут произвольно выбираться из множества всех действительных чисел Поэтому содержит гармонические колебания со всевозможными амплитудами, фазами и частотами.

Часто свойство Р для конкретного множества можно указать в другой форме, например

Периодические сигналы. Мы будем обозначать через множество периодических сигналов с периодом Т, т. е.

Ограниченные сигналы. Множество сигналов, мгновенные значения которых ограничены по величине некоторым вещественным положительным числом К, обозначается:

Ясно, что

Сигналы с ограниченной энергией. О сигналах из множества

говорят, что их энергия ограничена величиной К, где К — положительное вещественное число. Интеграл в (1.5) физически трактуют как энергию, подразумевая, что есть напряжение на нагрузочном сопротивлении 1 ом. Интеграл по времени от квадрата этого напряжения есть полная энергия, выделяющаяся на нагрузке.

Сигналы ограниченной длительности. Пусть — это множество сигналов, которые равны нулю за пределами интервала времени

Заметим, что

Сигналы с ограниченной полосой. Пусть это множество сцгналов с полосой, ограниченной некоторой частотой т. е.

где есть преобразование Фурье от функции времени

Операции над множествами

Рис. 1.3. Графическое представление объединения и пересечения двух множеств.

Имея дело с множествами сигналов, полезно применять две элементарные операции теории множеств: объединение, определяемое как

и пересечение, определяемое как

Эти операции поясняются на рис. 1,3.

Пример 1.1. Инженерам связистам хорошо известно, что сигнал не может быть одновременно ограничен и по времени, и по полосе. Это ясно из того, что интеграл

может равняться нулю только в отдельных точках (кроме случая, когда для всех ). Следовательно,

Это может показаться тривиальным, но важно отличать множество от пустого множества которое не содержит каких-либо элементов, в то время как множество содержит один нулевой элемент.

Упражнение 1.1. Рассмотреть счетное множество сигналов

И указать сигналы из принадлежащие множеству такому, что

Упражнение 1.2. Описать множество сигналов, которое является пересечением и

Разбиение и отношение эквивалентности

Операторы могут быть применены для получения разбиения [3, 4] множества на ряд непересекающихся подмножеств, как показано на рис. 1.4. Мы говорим, что совокупность множеств образует разбиение множества если

Рис. 1.4. Разбиение множества на непересекающиеся подмножества.

При разбиении множества обычно получают более удобные подмножества. Так, можно разбить несчетное множество на конечное или счетное число подмножеств, что мы проиллюстрируем дальнейшими примерами.

Разбиение можно произвести с помощью отношения эквивалентности, и часто это наиболее подходящий способ получения разбиения. Мы говорим, что два элемента эквивалентны, если отношение эквивалентности определено для всех пар элементов и удовлетворяет следующим свойствам:

Каждое отношение эквивалентности естественным образом порождает разбиение множества на ряд подмножеств называемых множествами эквивалентности, причем включает все элементы, эквивалентные

где х — некоторый элемент исходного множества.

Нетрудно показать также, что любое разбиение порождает отношение эквивалентности, так что эти две концепции приводят к одному и тому же объединению в непересекающиеся подмножества элементов, в некотором смысле эквивалентных друг другу.

Упражнение 1.8. Показать, что произвольное разбиение (1.11) порождает отношение эквивалентности; т. е. в том и только в том случае, если х и у содержатся в одном подмножестве, удовлетворяющем (1.12), так что отношение эквивалентности в нем имеет место. Обратно, показать, что произвольное отношение эквивалентности (1.12) порождает разбиение, т. е. различные непересекающиеся подмножества, определяемые как причем их объединение есть исходное множество согласно

Пример 1.2- Равенство — это отношение эквивалентности, но множества эквивалентности в этом случае содержат только отдельные элементы.

Пример 1.3. Взяв пример, известный из теории чисел, рассмотрим разбиение множества всех целых чисел на конечное число множеств эквивалентности:

где — любое число. Соответствующее отношение эквивалентности

называется конгруентностью (сравнимостью) по модулю т. Так, например, разбиение множества всех целых чисел на подмножества, конгруентные по модулю 2, приводит к разбиению на четные и нечетные числа.

Рис. 1.5. Двоичная система передачи сигналов.

Пример 1.4. Если мы исключим подмножество сигналов то отношение эквивалентности

задает разбиение всех относительных сигналов на два подмножества эквивалентности

Это разбиение широко используется в двоичных системах передачи сигналов, причем одно значение двоичной величины соответствует всем сигналам из а другое — всем сигналам из .

На рис. 1.5 приведен типичный пример. Хотя передаваемые сигналы могут быть только двух типов, в множество принимаемых сигналов входят сигналы, разнообразные по форме из-за шума и других помех, вносимых в канал передачи. Наблюдатель судит о том, какой сигнал из разбиения (1.15) был передан по сигналу на выходе ограничителя. Не имеет значения, к какому из множеств или отнести сигналы из подмножества так как вероятность их появления при приеме ничтожна.

Рис. 1.0. Двоичная система передачи сигналов, использующая опорный сигнал при приеме.

Пример 1.5. Другой тип устройства для приема двоичных сигналов, обладающий большей помехоустойчивостью, использует опорный сигнал для разбиения принятых сигналов на два подмножества. Разбиение на подмножества соответствующее принятию решения о том, какой из сигналов, или был передан, выполняется на принятых сигналах у по условию

где — наперед заданный порог. Приемное устройство в этом случае содержит: умножитель, интегратор, прерыватель и пороговое устройство, как показано на рис. 1.6. Вопросы оптимизации опорного сигнала и величины порога подробно обсуждаются в гл. 10.

Пример 1.6. Еще одна возможность различения сигналов состоит в подсчете числа пересечений нулевого уровня за определенный промежуток времени. Мы задаем разбиение

где

Можно также получить конечное разбиение

если условиться, что подмножество определено как множество сигналов, имеющих или более нулей на заданном интервале.

Рис. 1.7. Система передачи сигналов, использующая пересечения нулевого уровня.

Реализация -буквенного алфавита, соответствующего описанному разбиению, для системы передачи сигналов приведена на рис. 1.7.

Пример 1.7. Если задана система функций времени

то отношение эквивалентности может быть определено в виде

для всех Такое отношение эквивалентности есть обобщение конгруентностц (см. пример 1.3), где мы имели

Теперь М есть множество функций, определяемых условием

Каждое из полученных таким образом множеств эквивалентности может быть задано через свой представительный элемент х, в том смысле, что

где

Если функции подчинены некоторым дополнительным условиям, мы получаем взаимно-однозначное соответствие между множеством эквивалентности и упорядоченной последовательностью вещественных чисел называемой -мерной вектор-строкой. Таким образом, определенная в этом примере совокупность множеств эквивалентности получает представление через множество -мерных вектор-строк, относящихся, как мы увидим далее, к -мернол векторному пространству. Этот пример имеет фундаментальное значение для дальнейшего. Он приводит к часто используемому способу представления сигналов, имеющему лростую математическую форму. Будучи весьма важным, этот способ требует глубокого понимания метрических и линейных пространств, которые мы изучим в последующих главах.