8.4. ВЛИЯНИЕ КОДИРОВАНИЯ НА СПЕКТРАЛЬНУЮ ПЛОТНОСТЬ

Из предыдущего примера ясно, что форма импульса оказывает основное влияние на спектральную плотность АИМ сигнала. Однако, изменяя последовательность также можно изменить спектральную плотность. Обратимся к операции кодирования сообщений. Обычно вопросы кодирования обсуждаются в связи с обнаружением и исправлением ошибок, но некоторые простые операции кодирования оказываются весьма полезными для перераспределения мощности в частотном дипазоне. Это часто делают, чтобы более эффективно согласовать сигнал с параметрами канала передачи.

Для иллюстрации соответствующих идей рассмотрим влияние кодирования двоичных сообщений . Предположим для простоты, что элементы основной некодированной последовательности статистически независимы и что вероятность события равна Мы считаем, что форма импульса произвольна, однако в

большинстве практических приложений полоса импульса не превышает 1/27, так что межсимвольные помехи малы (см. § 6.7). Для неполированного двоичного сигнала имеем

С учетом (8.41) спектральная плотность принимает вид

Влияние рассматриваемых ниже различных кодирующих схем будем оценивать путем сравнения получаемой спектральной плотности с (8.43). Многие последующие результаты можно распространить на случай алфавита из большего числа символов

Дифференциальное двоичное кодирование

Измененный двоичный АИМ сигнал

называется дифференциальным двоичным сигналом, если связана с следующим образом. Если то изменяется по сравнению с предыдущим символом Если то Иными словами,

Чтобы определить спектральную плотность сигнала х, нужно знать среднее значение и корреляцию для последовательности

Из (8.46) следует что , т. е. «нули» и «единицы» дифференциальной последовательности равновероятны, независимо от вероятности «нулей» и «единиц» исходной последовательности.

Пусть

Условную вероятность в (8.47) можно представить как сумму двух вероятностей, взятых при условии

Из (8.47) и (8.48) следует, что удовлетворяет разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами,

Решение этого уравнения при начальном условии и при условии имеет вид [9]

Теперь, используя (8.39) с заменой на для спектральной плотности, находим

Второй член в (8.51) дает дискретную часть спектральной плотности, обусловленную только постоянной составляющей последовательности

Мы видим, что дискретные компоненты не зависят от величины и они такие же, как для некодированного сигнала (8.43) при Непрерывная часть спектральной плотности изменяется за счет периодической «модулирующей» функции в (8.51) Можно получить простое выражение для разбив сумму по на две части, каждая из которых представляет собой геометрическую прогрессию и легко вычисляется:

Для различных значений параметра функция показана на рис. 8.5. Очевидно, она зависит от концентрация мощности происходит около значений частоты, кратных причем для с четными, а для с нечетными номерами.

Рис. 8.5. Функция, корректирующая форму спектра, при дифференциальном двоичном кодировании.

Биполярное кодирование

В силу ряда практических причин при конструировании системы передачи с АИМ часто желательно уменьшить спектральную плотность на низких частотах и в районе частоты повторения импульсов. Это было бы достигнуто при дифференциальном двоичном кодировании, если бы можно было гарантировать, что сигнал до кодирования имеет высокую плотность импульсов, так что Поставленная задача решается более успешно при применении биполярного кодирования [4]. Как отмечалось, некодированный сигнал униполярен, поскольку импульсы генерируются лишь тогда, когда . Биполярный сигнал обладает такой же структурой, но соседние импульсы последовательности имеют противоположную полярность. Интуитивно ясно, что эта операция уменьшает спектральную плотность на низких частотах. Амплитуды импульсов биполярного сигнала задаются последовательностью

причем принимают три значения (троичная последовательность):

Расчет среднего значения и корреляционной функции последовательности упрощается, если установить связь с дифференциальной двоичной последовательностью.

Так как в (8.45) должны чередоваться, мы можем записать

Итак, мы имеем

Рис. 8.6. Функция, корректирующая форму спектра при биполярном кодировании.

Теперь, используя формулу (8.50) для получаем

Спектральная плотность биполярного сигнала имеет значение

где

Для различных значений параметра эта периодическая функция, корректирующая форму спектра, показана на рис. 8.6. Заметим, что дискретные компоненты при биполярном кодировании исключаются (если статистически независимы). Кроме того, независимо от величины спектральная плотность равна нулю при

Для больших значений плотности импульсов мощность концентрируется в районе 1/2T.

Интересно отметить, что биполярное кодирование открывает некоторые возможности для обнаружения ошибок. Если при приеме биполярного сигнала два соседних импульса имеют одинаковую полярность, то ясно, что при передаче имела место ошибка. Такие ошибки называются искажениями биполярности; частота, с которой они имеют место, может служить мерой качества системы.

Парциальное кодирование

В АИМ системах, использующих минимальную полосу частот, приблизительно равную бывает желательно сконцентрировать мощность около центральной частоты и получить нулевые значения спектральной плотности при и Этого можно достичь с помощью кодирующей схемы, обладающей парциальной характеристикой [6]. Парциально кодированный сигнал задается выражением

где

Следовательно, и

Поэтому для Спектральная плотность принимает значение

где

Эта корректирующая спектр функция показана на рис. 8.7 для Форма кривой не зависит от Дискретные компоненты некодированного сигнала (8.43) также устраняются при кодировании. Заметим, что тот же результат может быть получен изменением формы импульса, поскольку парциально кодированный сигнал (8.60) может быть представлен в виде

где

Рис. 8.7. Функция, корректирующая форму спектра, при парциальном кодировании.

Упражнение 8.5. Способ кодирования, во многих отношениях подобный биполярному, но концентрирующий мощность на низких частотах, получается заменой двоичной последовательности на троичную так что

Однако соседние импульсы процесса имеют одинаковую полярность, если они отделены четным числом пропущенных импульсов и противоположную полярность, если между соседними импульсами содержится нечетное число пропущенных. Такое кодирование исключает, в частности, скачкообразные изменения сигнала с +1 на —1, которые имели бы место при наличии двух первичных импульсов подряд. Такое кодирование называется дибинарным [10]. Вычислить спектр мощности, предполагая, что некодированная двоичная последовательность обладает статистическими свойствами (8.42). Сравнить результат с биполярным кодированием.

Указание Показать, что , где — троичная последовательность, получаемая при биполярном кодировании.

Упражнение 8.6. Предполагая, что в двоичном АИМ процессе (8.42) величины статистически зависимы, но вероятности а и различаются на 1/4, показать, что:

б) Используя а), найти спектральную плотность процесса. Выделить дискретные компоненты, если они имеются.

Упражнение 8.7. Пусть в синхронном АИМ сигнале (не обязательно двоичном) последовательность стационарна и имеет корреляцию Такая последовательность называется марковской в широком смысле [3].

а) Вычислить и изобразить графически спектральную плотность для значения близкого к единице (сильно коррелированная последовательность). Выразить отношение максимума спектральной плотности к минимуму как функцию параметра

б) Для уменьшения спектральной плотности на низких частотах соседним импульсам можно придать противоположную полярноеть, Пусть

где Вычислить спектральную плотность и сравнить со случаем а).

в) Чтобы уменьшить максимальное значение спектральной плотности, которое получается в случаях а) и б) для сильно коррелированной последовательности, можно использовать дифференциальный АИМ сигнал. Пусть

где Сравнить спектральную плотность со случаем а).