6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ

6.1. ВВЕДЕНИЕ

Помимо рассмотренных представлений сигнала мы часто используем его описание с помощью нескольких важных параметров, таких, как ширина полосы, энергия, максимальная амплитуда, длительность и т. д. Поэтому, как и в задаче представления, мы хотим найти подходящие отображения пространства сигналов в числовые величины. Однако линейные функционалы, столь удобные для формирования представлений, могут оказаться неподходящими для определения

указанных параметров. Характеризуй сигнал некоторыми параметрами, мы стремимся прежде всего выяснить с помощью каких измерений можно сравнивать системы друг с другом. Выявление подходящих числовых характеристик для сигналов в различных точках системы является основной предпосылкой для оптимизации сигналов и улучшения качества системы в целом.

Ограниченные возможности линейных функционалов в части выявления числовых характеристик сигнала связаны с необратимой природой таких отображений (преобразование типа «много — в одно»). Напомним» что линейный функционал можно выразить через скалярное произведение ); следовательно любой сигнал, ортогональный к у, если его добавить к х, дает то же отображение, что и х. Кроме того, задачи оптимизации сигналов, естественно, сводятся к отысканию экстремальных значений соответствующего функционала. Но если сигналы характеризуются только линейными функционалами, то всегда можно найти сигнал, функционал от которого принимает произвольное значение. Чтобы обойти эту трудность, нужно использовать функционалы других типов, имеющие определенный максимум и минимум. В этой главе мы рассмотрим частный тип функционалов, а именно квадратичные функционалы. Эти функционалы обладают рядом удобных свойств. Принципиальным их преимуществом является возможность достаточно полного математического исследования, в частности, при установлении условий экстремума, а также легкость, с которой квадратичные функционалы можно выразить через линейные отображения сигналов. Другое преимущество состоит в том, что квадратичные функционалы выражают величины, которым легко придать физическое содержание, и которые широко применяются в теории связи и систем управления.

Произведение длительности на полосу

В качестве вводного примера рассмотрим задачу оптимизации сигнала, которая вероятно, считается классической — задачу о минимальном произведении длительности сигнала на его полосу частот [1]. Позаимствуем из теории вероятностей определение ширины (длительности) функции через второй центральный момент. В отличие от плотности вероятности сигнал не обязательно неотрицателен, и его второй момент может не характеризовать длительность сигнала, если последний в достаточной мере колебательный. Чтобы обойти эту труд ность, рассмотрим второй центральный момент функции и поскольку площадь функции (нулевой момент) необязательно равна единице, мы нормируем второй момент, взяв за меру длительности сигнала величину

где

— нормированный первый момент функции

Другая простая аналогия состоит в том, что мы можем рассматривать второй момент как момент инерции, предполагая, что масса распределена по закону . В этой связи можно трактовать как «радиус инерции» сигнала . Подобным образом мы можем определить и ширину полосы сигнала через второй центральный момент квадрата модуля его преобразования Фурье:

где в силу того, что для вещественных сигналов симметрично относительно начала координат. Поскольку модуль не зависит от смещения во времени, можно положить и выразить произведение длительности на полосу через скалярные произведения:

Скалярные произведения в (6.3), представленные в частотной области, можно преобразовать во временную область, используя равенство Парсеваля (4.14): Так как есть преобразование Фурье от производной по времени сигнала принимаем вид

Поскольку не зависят от мы можем положить и применить к (6.4) неравенство Шварца; тогда получается

Интегрируя по частям, можно показать, что правая часть (6.5) не зависит от если Действительно,

Таким образом, минимум произведения длительности на полосу имеет значение

и этот минимум достигается сигналом, для которого неравенство (6.5) переходит в равенство, т. е. для которого

Поэтому мы заключаем, что сигнал с минимальным произведением длительности (6.1) на полосу (6.2) есть гауссов импульс, В данном случае оптимизация оказалась столь простой потому, что удалось непосредственно применить неравенство Шварца. В более сложных примерах мы не будем иметь такой возможности. В последующих параграфах развивается общая методика, применимая к подобным задачам оптимизации сигналов лишь при условии, что сохраняется квадартичная структура функционала. В литературе по теории связи и теории систем управления содержится много интересных примеров на задачи этого типа. Общий подход позволяет значительно глубже понять задачу и упростить ее решение. Мы увидим, что некоторые необходимые условия, которым должно удовлетворять решение, можно записать сразу же, как только задача поставлена (если она поставлена правильно). В дальнейшем мы сконцентрируем внимание на частотных и временных свойствах сигналов, поскольку эти аспекты особенно важны, но следует помнить, что те же методы применимы к любым линейным представлениям сигнала,