10.2. КРИТЕРИЙ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ

В двоичной задаче обнаружения мы хотим на основе измерений, проведенных над принятым сигналом, решить, какая из двух гипотез или верна:

— присутствует сигнал

— присутствует сигнал

Сводя эту задачу к оценке параметра, можем записать

На основе принятой информации приемник должен решить, равно ли правильное значение параметра 6 нулю или единице. Во многих приложениях, например в радиолокации, нужно положить , т. е. гипотеза соответствует отсутствию сигнала. Часто именно такая задача является основной, но наше обобщение на случай двух произвольных сигналов не связано с дополнительными усложнениями. Возможны четыре различных исхода. Они приведены в следующей таблице.

Учитывая, что штрафы за различные ошибки могут быть разными, мы вводим цены ошибок I и II рода соответственно. Теперь можно построить стратегию решений, взяв апостериорные вероятности с соответствующими весами-ценами:

Величины представляют собой ожидаемые цены или апостериорные риски, связанные с принимаемыми решениями. Так, есть риск принять на основе наблюдаемого сигнала у решения о том, что верна Приемник, выбирающий гипотезу, обеспечивающую наименьший апостериорный риск, называется байесовым приемником. Мы покажем, что байесов приемник обеспечивает также минимум среднего риска [среднего по ансамблю возможных наблюдаемых сигналов (10.14).

Таблица

Чтобы выяснить окончательные характеристики байесова приемника, нужно связать апостериорные вероятности со свойствами источника сигналов (априорными вероятностями) и с каналом передачи (вероятностью случайных искажений). Для этого мы используем понятия пространства сигналов. Рассмотрим пространство сигналов включающее все возможные сигналы на входе приемника и разбиения [см. (1.9)] на подпространства . Теперь, применяя формулу Байеса для несовместных событий [3], можем записать

где

есть априорные вероятности гипотез. Можно выразить условные вероятности символически, вводя плотности вероятностей такие, что

Если есть -мерное вещественное пространство, то интегрирование в (10.6) производится по -мерным объемам, а есть просто -мерные плотности вероятностей. Они называются функциями правдоподобия и описывают нужные нам свойства канала (заметим, что они не зависят от априорных вероятностей).

Если мы будем выполнять разбиение так, что каждая область может быть сделана произвольно малой, то апостериорные вероятности и функции правдоподобия естественно считать постоянными в каждой из областей, и для каждой отдельной точки (10.4) можно переписать в виде

Объединяя (10.3), (10.7) и (10.8) мы видим, что отношение апостериорных рисков пропорционально отношению функций правдоподобия:

Величина называется отношением правдоподобия для канала. Байесов приемник выбирает гипотезу когда отношение (10.9) меньше единицы, и гипотезу Ни когда это отношение больше единицы (Неопределенная ситуация, когда риски равны, не имеет практического значения, так как вероятность такого случая равна нулю.) Эта стратегия эквивалентна выбору гипотезы когда отношение правдоподобия меньше порогового значения

и гипотезы — в обратном случае. Уравнение определяет поверхность в пространстве сигналов, которая делит это пространство на две области такие, что

Таким образом, байесов приемник вычисляет значение отношения правдоподобия для принятого сигнала и сравнивает его с порогом, определяемым с учетом цен и априорных вероятностей. Если отношение правдоподобия меньше порога, принимается гипотеза в противном случае — . На рис. 10.1 сделана попытка отобразить это графически. Ошибки I рода происходят в тех случаях, когда за счет достаточно больших искажений в канале при переданном сигнале выходной сигнал приемника попадает в область

Чтобы характеризовать качество канала, обозначим через вероятность ошибки I рода, в ситуации, когда верна . Используя (10.6), можно выразить через функцию правдоподобия

Аналогично, обозначим через вероятность ошибки II рода для случая, когда верна гипотеза

С учетом априорных вероятностей и цен ошибок можно определить средний риск С как

При изменении областей и средний риск будет изменяться, поскольку зависят от и

Рис. Представление пространства сигналов и отношения правдоподобия. Точки вблизи соответствуют различным реализациям принятого сигнала» когда передается сигнал Точки справа от границы решений дают ошибки I рода.

Рис. 10.2. Перекрывающиеся области решений для двух различных стратегий.

Интуитивно ясно, что байесов приемник, который всегда принимает решение, минимизирующее апостериорный риск, обеспечивает и минимум среднего риска. Чтобы доказать это, возьмем произвольную стратегию, соответствующую областям и сравним получаемый средний риск С с риском для случая байесовых областей, соответствующих (10,11),

Исключив общие области интегрирования (рис. 10.2), получим

или, перегруппировав слагаемые,

Из условия (10.11), определяющего области видно, что подынтегральные выражения в (10.16) положительны над областями интегрирования, следовательно,

— минимальный средний риск.

Рис. 10.3. Типичная зависимость среднего риска от априорных вероятностей.

Некоторые частные случаи байесова приемника представляют особый интерес. Если цены ошибок равны, то средний риск С (10.14) есть просто средняя вероятность ошибки. В этом случае, и мы приходим к критерию идеального наблюдателя. Далее, если обе гипотезы равновероятны, то и получается приемник (критерий) максимального правдоподобия. Типичная зависимость байесова риска от априорной вероятности показана на рис. 10.3. Для разных нужны разные Интересно рассмотреть зависимость среднего риска от при фиксированной стратегии (т. е. при конкретном значении ). В этом случае фиксированы и

Следовательно, С есть прямая с наклоном как показано на рис. 10.3.

Из рис. 10.3 видно также, что проигрыш за счет фиксированной стратегии может быть большим, если априорные вероятности существенно изменяются. Когда априорные вероятности заранее неизвестны,

предпочтительна стратегия, соответствующая минимаксному критерию, при которой минимизируется наибольший средний риск. Очевидно, это соответствует прямой с нулевым наклоном, т. е. и минимаксные риски не зависят от Минимаксная стратегия соответствует порогу

где — априорная вероятность, для которой С в максимален.