6.6. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ

Пример 6.1. Пусть линейный, инвариантный во времени фильтр, показанный на рис. 6.3, имеет импульсную реакцию Какую форму должен иметь входной сигнал фиксированной энергии, чтобы энергия на выходе фильтра была максимальной?

Положим

Стационарные точки функционала легче всего найти в частотной области

Из (6.50) следует, что должно быть равно нулю всюду, кроме частот, где При этом энергия на выходе будет Трудность, связанная с этим решением, состоит в том, что не существует сигнала единичной энергии, преобразование Фурье которого отлично от нуля лишь при однако можно получить

сколь угодно точное приближение к этому условию с помощью предельного перехода:

При этом, чтобы выходная энергия была максимальной, частота выбирается так, что при Такой результат интуитивно ясен, он лросто означает, что мы должны сконцентрировать входной сигнал фильтра на той частоте, для которого коэффициент усиления максимален. Если — постоянна и максимальна в некотором частотном интервале, возможны также другие решения.

Рис. 6.3. Максимизация энергии на выходе фильтра.

Пример 6.2, Более интересный пример того же рода дает задача, рассмотренная Чоком , о максимуме энергии на выходе фильтра, когда входной сигнал ограничен по длительности. Оказывается, легче учесть ограничение длительности прямым способом, а не с помощью множителей Лагранжа. К функционалам примера 6.1 мы добавим ограничение

где

При учете (6.52) функционалы и приобретают вид

В этой задаче необходимое условие снова выглядит проще в частотной области:

где ядро соответствует самосопряженному оператору, а преобразование Фурье есть просто

Для данного конкретного вида необходимое условие (6.54)

может быть упрощено

здесь изменен знак X, чтобы придать (6.56) стандартную форму уравнения для собственных значений. Частный случай, для которого уравнение (6.56) решено в [3], соответствует однокаскадному -фильтру низких частот с полосой . В этом случае

так что

и (6.56) принимает вид

Продифференцируем (6.58) по дважды:

Объединяя (6.58) и (6.59), получаем дифференциальное уравнение второго порядка, справедливое в интервале

Подставив решения уравнения (6.60) обратно в (6.58), найдем, что собственные значения образуют две последовательности

где находятся из уравнений

Соответствующие собственные функции (ненормированные) суть

Если в качестве входных сигналов берутся отрезки этих функций заданной длительности, то соответствующие собственные значения дают ту часть энергии, которая проходит на выход фильтра,

Следовательно, собственная функция, обеспечивающая максимум выходной энергии фильтра, соответствует наибольшему собственному значению из последовательности Соответствующее значение лежит в интервале Для малых величин получаются малые и оптимальный входной сигнал близок к прямоугольному импульсу. Для больших величина стремится к а оптимальный сигнал приближается к «полукосинусному» импульсу, показанному на рис. 6.4.

Пример 6.3. Дан инвариантный во времени линейный фильтр с импульсной реакцией Каким должен быть входной сигнал заданной энергии, максимизирующий выходной сигнал фильтра в момент Пиковое значение выходного сигнала есть линейный функционал от Так как то

где

и, как и ранее,

Условие для стационарной точки функционала 1г одинаково просто как во временной, так и в частотной форме. Воспользуемся частотной записью:

Отсюда

и для . Отрицательное значение X соответствует максимуму выходного сигнала, а положительное — минимуму. Во временной области оптимальный входной сигнал имеет вид

так что с точностью до задержки во времени на входной сигнал есть импульсная реакция фильтра, инвертированная по времени. Сигнал, обладающий такими свойствами, называется согласованным с фильтром. Пик выходного сигнала фильтра, достигаемый при согласованном входном сигнале, равен Это можно проверить с помощью неравенства Шварца.

Пример 6.4. Предыдущая задача, очевидно, связана с проблемой наилучшего обнаружения импульсов на выходе канала с передаточной функцией Для повышения разрешающей способности таких импульсов в случае их близкого времени) расположения на входе приемника следует выбрать сигнал, минимизирующий энергию отдельного импульса на выходе при заданном пиковом уровне, о котором говорилось выше (скажем, при Минимизация энергии при заданном пиковом значении приводит к сужению импульсов и уменьшению перекрытия соседних импульсов во времени. Таким образом, мы хотим минимизировать функционал

при условиях

где

Стационарные точки функционала определяются из уравнения

Рис. 6.4. Оптимальный входной импульс, ограниченный по длительности обеспечивающий максимум энергии на выходе фильтра низких частот.

Рис. 6.5. Задача о заряде конденсатора.

Следовательно,

Множители Лагранжа находятся из совместного решения уравнений, описывающих ограничения

Заметим, что эти уравнения нелинейны.

Из общего решения (6.70) видно, что если достаточно велико по сравнению с решение приближается к сигналу, согласованножу с каналом передачи. С другой стороны, если мало, то спектр сигнала является обратным по отношению к передаточной функции канала Интуитивно ясно, что это отличие результатов зависит от того, насколько жестко ограничение, налагаемое на пиковое значение выходного импульса. Если пиковое значение лишь на пределе может быть получено при входном сигнале единичной энергии, этот

сигнал должен быть близок к согласованному. С другой стороны, если заданное пиковое значение получить легко, то большую часть единичной входной энергии можно «погасить» на выходе с помощью фильтра, частотная характеристика которого приблизительно обратна по отношению к сигналу, чтобы уменьшить длительность выходного импульса.

Пример 6.5. Теперь рассмотрим задачу о заряде конденсатора за конечное время при минимальной затрате энергии. В схеме (рис. 6.5) необходимо, чтобы выходное напряжение было равно в момент . Источник напряжения производит сигнал в интервале времени Каким будет питающее напряжение с минимальной энергией?

Эта простая задача иллюстрирует ряд особенностей вариационных проблем, не охваченных предыдущими примерами. Во-первых, некоторые функционалы — ограничения, наложенные на не соответствуют самосопряженным операторам. Во-вторых, используемое физическое понятие энергии не совпадает с квадратом нормы , наконец, выбор функционального аргумента существенно влияет на сложность решения. Это будет продемонстрировано с помощью двух способов решения данной задачи.

Пусть — напряжение на конденсаторе в конечный момент — энергия, потребляемая от источника. Добавив условие ограниченности во времени,

где

и, учитывая, что

получаем значение напряжения на конденсаторе в момент Т:

где

Затраченная энергия имеет вид:

здесь учтено, что

Оператор в (6,74) имеет функциональное ядро вида

где и — функция включения. Заметим, что — не самосопряженный оператор. Стационарные точки функционала определяются уравнением

Учитывая вид можем переписать (6.76) иначе:

или

Отметим сходство (6.77) и соответствующего уравнения (6.58) в частном случае примера 6.2. Решение может быть получено здесь тем же методом, т. е. двукратным дифференцированием (6.77) по и совместным решением с исходным уравнением (6.77). Это приводит к дифференцированному уравнению второго порядка

Следовательно,

Константы и находятся из условий: — минимум. Проделав это, получим оптимальное напряжение на входе схемы в виде суммы скачка и линейной функции

Решение можно значительно упростить, выбрав в качестве аргумента ток , а не . Тогда

а — энергия, затраченная за время от 0 до Т:

Поскольку мы просто хотим минимизировать при необходимо, чтобы

или

где удовлетворяет условию (6,81). Далее,

что совпадает с (6.80).

Известна также методика решения подобных задач в частотной области [4].

Пример 6.6. В качестве последнего примера рассмотрим более сложную задачу, типичную для проектирования систем. В этом примере мы познакомимся с двумя новыми вариантами вариационной задачи:

1) в качестве функции-аргумента используется не сигнал, а оператор и 2) для нахождения оптимального решения выполняются вариации двух или большего числа независимых функций одновременно.

Рис. 6.6. Минимизация ошибки фильтрации при наличии помех.

В системе (рис. 6.6) желательно, чтобы сигнал на выходе фильтра был как можно ближе к заданному сигналу Как и ранее, мы предполагаем, что энергия сигнала ограничена, так что Кроме того, заметим, что для большинства фильтров характерно некоторое ограничение, налагаемое на произведение коэффициента усиления и ширины полосы.

Оно может быть выражено условием — Наконец, будем считать, что к входному сигналу добавлена аддитивная помеха произвольной полярности. Для ограничения влияния помехи потребуем, чтобы ее энергия на выходе фильтра не превышала некоторого допустимого значения, скажем, Задача состоит в нахождении наилучшей комбинации входного сигнала и импульсной реакции фильтра с тем, чтобы разность между выходным сигналом фильтра желаемым выходом имела минимальную норму при указанных ограничениях.

Итак, мы хотим минимизировать функционал

при ограничениях:

Мы будем искать стационарные точки функционала

по отношению к X и Н одновременно.

Из рассмотрения обеих форм (6.86) можно получить два условия.

Мы хотим найти X и Н, при которых одновременно удовлетворяются (6.87) и (6.88). Умножив (6.87) на X, а (6.88) на Н, получим:

Из (6.89) видно, что — вещественное число, следовательно, фаза равна, как ожидалось, фазе и этот член может быть заменен в (6.89) и в (6.90) его модулем. Нужная фаза может быть произвольно распределена между X и Н, поскольку фазы X и Н порознь не входят в ограничивающие условия. Вычитая (6.90) из (6.89), найдем

Учитывая, что можно подставить (6.91) в (6.89), тогда получим

и

Трудно что-либо добавить относительно общего метода определения констант удовлетворяющих ограничениям; эта трудоемкая задача требует численного решения на ЦВМ.

Упражнение 6.3. В примере 6.2 было показано, что оптимальный сигнал ограниченной длительности, максимизирующий энергию на выходе -ячейки, приближается к прямоугольному импульсу, если параметр Т уменьшается (см. рис. 6.4). Показать, что для любого низкочастотного фильтра (и при любом разумном определении ширины полосы оптимальный входной сигнал приближается к прямоугольному, когда стремится к нулю. Дать физическую интерпретацию этого результата.

Упражнение 6.4. Получить интегральное уравнение, которому должны удовлетворять решения задачи «сопряженной» с задачей примера 6.2, т. е. задачи о том, какой входной сигнал единичной энергии, будучи пропущен через фильтр с передаточной функцией дает максимум энергии на выходе в интервале

Упражнение 6.5. Показать, что в примере 6.3, если входной сигнал согласован с фильтром, то выходной сигнал пропорционален функции автокорреляции (2.40) входного сигнала (без учета задержки во времени).

Упражнение 6.6. Показать, что радиус корреляции

для сигнала с полосой не может быть меньше сек, Привести пример сигнала с ограниченной полосой, для которого достигается этот минимум.

Упражнение 6.7. Найти сигнал единичной энергии, длительностью , который дает максимальный пик на выходе фильтра с импульсной реакцией

Упражнение 6.8 Рассмотреть фильтр с передаточной функцией по напряжению и входной проводимостью где — напряжения на входе и на выходе соответственно, а — входной ток. Какое напряжение сигнала с единичной физической энергией на входе дает максимум выходного напряжения в момент Иными словами, каков согласованный сигнал для заданного фильтра с не чисто активной входной проводимостью?

Упражнение 6.9. Обычная задача синтеза сигнала состоит в отыскании входного сигнала, который, будучи пропущен через конкретный фильтр с неизменяющимися во времени параметрами, дает на выходе импульс заданной формы. Эту задачу часто решают в частотной области. При отсутствии других ограничений мы просто берем , где выходной импульс желаемой формы, а — импульсная реакция фильтра. Но при таком решении может потребоваться слишком большая энергия входного сигнала, например, если в имеются заметные компоненты в тех частотных областях, где мало. Предположим, мы накладываем ограничение на энергию входного сигнала и выбираем сигнал, минимизирующий Написать общее выражение для преобразования Фурье от оптимального сигнала и сравнить его с оптимальным сигналом для случая без ограничений. Дать физическую интерпретацию этого различия для характерных типов Сравнить результат также с примером 6.4.