5.6 РЕАЛИЗАЦИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Имеется обширная литература по методам физической реализации цепей, операторы которых обеспечивают приближение к желаемым инвариантным во времени операторам. Соответствующие методы сводятся в основном к аппроксимации нужной импульсной реакции (приближение во временной области) или передаточной функции (приближение в частотной области). Если аппроксимация выполняется с помощью экспоненциальных функций времени, или соответственно рациональных функций частоты, то получается оператор цепи конечного порядка, и для отыскания конкретной схемной реализации применимы классические методы синтеза цепей.

Для более широкого класса инвариантных во времени операторов методы синтеза реализующих цепей разработаны далеко не столь полно. Однако имеется ряд канонических схем, которые (при некоторых модификациях) могут реализовать произвольный вырожденный оператор. Следовательно, в свете сказанного в предыдущем параграфе мы можем существуют способы приближенной реализации для любого компактного оператора.

Упомянутая необходимость в модификациях связана с тем, что реакция физической системы не может быть упреждающей. Используя временное представление вырожденного оператора порядка, мы видим, что его импульсная реакция разделима:

Выходной сигнал зависит таким образом, от скалярных произведений которые нельзя вычислить за конечное время, кроме тех случаев, когда х или 0 есть функция конечной длительности. Другими словами, система должна «увидеть» входной сигнал целиком до того, как она сможет дать правильный сигнал на выходе. Это позволяет понять условия, при которых оператор вида (5.81) может быть физически реализован. Если входной и выходной сигналы можно считать ограниченными по времени, например интервалом то скалярные произведения могут быть получены с помощью умножителей и физических интеграторов:

Таким образом, принимая, что функции ограничены тем же временным интервалом, и допуская задержку на Т сек и более, мы можем получить желаемый выходной сигнал, с помощью набора выходных умножителей, включенных, как показано на рис. 5.7.

Допустимая во многих устройствах обработки задержка на длительность сигнала Т есть, таким образом, условие, необходимое для схемной реализации импульсой реакции конечного порядка (5.49).

Не удивительно, что рассмотренная схемная реализация импульсной реакции (5.81) не является единственной. Известны общие методы получения эквивалентных реализаций [8, 10].

Рис. 5.7. Каноническая схемная реализация вырожденного оператора с временной задержкой.

Эквивалентные реализации применяются для преодоления некоторых практических ограничений. Например, нередко приходится удовлетворяться не идеальными интеграторами, интеграторами с «утечкой», имеющими импульсную реакцию . В этом случае импульсная реакция цепи, показанной на рис. 5,7, будет

Однако из (5.83) ясно, что нужная импульсная реакция может быть получена в аналогичной схеме, но с измененными умножителями, как показано на рис. 5.8.

Можно построить и другие эквивалентные схемы, содержащие каналов с входными и выходными умножителями, разделенными инвариантным во времени блоком. Такие эквивалентные схемы легко получаются на основе хорошо известного метода переменных состояний, используемого для описания систем

Соответствующие результаты кратко изложены ниже. Пусть инвариантная во времени часть схемы рис. 5.9 есть -полюсних, описываемый системой из уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Полная схема, эквивалентная приведенной на рис. 5.7, получается, если изменить опорные функции умножителей согласно следующему правилу:

где зависящие от времени матрицы преобразования задаются в виде

причем А есть матрица (возможно, комплексная), характеризующая инвариантную во времени часть реализующей схемы.

Рис. 5.8. Схемная реализация, эквивалентная приведенной на рис. 5.7.

С этой более общей точки зрения реализция с помощью схемы рис. 5.8 получается при диагональной матрице А, а с помощью схемы рис. 5.7 — при нулевой матрице. Интересно заметить, что рассмотренная -канальная основная структура применима в качестве канонической формы для представления

цгпей с периодически изменяющимися во времени параметрами [11], в которых условие о конечной протяженности сигналов не налагается. Заслуживает внимания и тот факт, что бывают нетривиальные случаи, когда величины постоянны, и рассмотренная -канальная схема эквивалентна инвариантной во времени цепи (см. упражнение 5.12). Это приводит к некоторым полезным приемам для получения других реализаций передаточных функций с помощью инвариантных во времени цепей при ограничениях не столько на протяженность сигналов, как рассматривалось выше, сколько на полосу частот на входе и на выходе.

Рис. 5.9. Общая -канальная структура, эквивалентная схеме рис. 5,7.

Упражнение 5,12. Показать, что изображенная на рисунке двухканальная схема, содержащая одинаковые инвариантные во времени блоки, включенные между умножителями, эквивалентна некоторой инвариантной во времена цепи. Какова передаточная функция этой цепи?